מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/אי-שוויונות לוגריתמיים

תבנית:בעבודה בחלק זה של הספר יוסבר כיצד לפתור אי-שוויונות לוגריתמיים, למשל:

$\log (x)>\log (x+2)$

רקע תיאורטי פורמלי

• תחום ההגדרה: הפונקציה ${\log }_a(x)$ מוגדרת לכל $\begin{array}{c}0<a\ne 1\\ x>0\end{array}$ (ראה פרק הלוגריתמים)
• עליה וירידה של הפונקציה: לכל $a>1$ הפונקציה ${\log }_a(x)$ עולה ממש ולכל $0<a<1$ הפונקציה יורדת ממש. מכאן שלכל $x_2,x_1>0$:
  • אם $0<a<1$
    • ${\log }_a(x_2)>lo{g}_a(x_1)$ אם ורק אם $x_2<x_1$.
    • ${\log }_a(x_2)=lo{g}_a(x_1)$ אם ורק אם $x_2=x_1$
  • אם $a>1$
    • ${\log }_a(x_2)>lo{g}_a(x_1)$ אם ורק אם $x_2>x_1$.
    • ${\log }_a(x_2)=lo{g}_a(x_1)$ אם ורק אם $x_2=x_1$

פתרון אי-שוויונות לוגריתמיים עם בסיס קבוע

• נמצא את תחום ההגדרה
• נעבור לצורה${\log }_a(f(x))>{\log }_a(g(x))$
  • אם $0<a<1$ נפתור את אי השיוויון $f(x)<g(x)$
  • אם $a>1$ נפתור את אי השיוויון $f(x)>g(x)$
• נמצא את קבוצת האמת של אי-השיוויון המקורי על ידי חיתוך של קבוצת הפתרונות אליה הגענו עם תחום ההצבה.

דוגמאות

דוגמא א'

${\log }_2(x)<-3$

תחום ההגדרה: $x>0$

אי השיוויון שקול ל-

${\log }_2(x)<lo{g}_2(\frac{1}{8})$

(כיוון ש-

${\log }_2(\frac{1}{8})=-3$

).

כמו כן, הבסיס של ${\log }_2(x)$ גדול מ-1 ולכן הפונקציה עולה.

מכאן

$x<\frac{1}{8}$

יחד עם תחום ההגדרה נקבל

$0<x<\frac{1}{8}$

דוגמא ב'

${\log }_{\frac{3}{2}}(x^2+2x)<{\log }_{\frac{3}{2}}(3)$

תחום ההגדרה:

$x>x^2+2x⟺x(x+2)>0⟺x<-2\vee x>0$

אי-שוויון שקול תחת ת"ה:

$x^2+2x<3⟺x^2+2x-3<0⟺(x+3)(x-1)<0⟺-3<x<1$

(כי $\frac{3}{2}>1$ ולכן $f(x)={\log }_{\frac{3}{2}}(x)$ מונוטונית עולה).

קבוצת האמת של אי-השוויון:

$\{x|-3<x<-2\vee 0<x<1\}$

דוגמא ג'

${\log }_{\frac{1}{3}}(x^2+1)<{\log }_{\frac{1}{3}}(2x)$

תחום ההגדרה:

$\begin{array}{cc}& \{\begin{array}{c}{x}^2+1>0\\ 2x>0\end{array}\\ \Updownarrow \\ & x>0\end{array}$

אי-שוויון שקול תחת ת"ה:

$\begin{array}{cc}& x^2+1>2x\\ \Updownarrow \\ & x^2-2x+1>0\\ \Updownarrow \\ & {(x^2-1)}^2>0\\ \Updownarrow \\ & x>1\vee x<-1\end{array}$

קבוצת האמת של אי-השוויון:

$\{x|x>1\}$

פתרון אי-שוויונות לוגרתמיים בצורה של אי-שיוויונות ריבועיים

דוגמא

${\log }_3(81x)\cdot {\log }_3(x)>-4$

כיון שהמספר שבתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי, תחום ההגדרה הוא:

$x>0$

נשתמש בחוקי הלוגריתמים כדי לפשט את אי-השוויון.

$\begin{array}{c}({\log }_3(81)+{\log }_3(x))\cdot {\log }_3(x)>-4\\ \\ ({\log }_3(3^4)+{\log }_3(x))\cdot {\log }_3(x)>-4\\ \\ (4{\log }_3(3)+{\log }_3(x))\cdot {\log }_3(x)>-4\\ \\ (4+{\log }_3(x))\cdot {\log }_3(x)>-4\end{array}$

נסמן $t={\log }_3(x)$ .

$\begin{array}{c}t(t+4)>-4\\ \\ t^2+4t+4>0\\ \\ (t+2{)}^2>0\end{array}$

כיון שהביטוי באגף השמאלי הוא תחת חזקה זוגית, הוא תמיד יהיה חיובי או 0. הוא מתאפס עבור $t=-2$ ולכן נכתוב:

$\begin{array}{c}t\ne -2\\ \\ {\log }_3(x)\ne -2\\ \\ x\ne \frac{1}{9}\end{array}$

בשילוב עם תחום ההגדרה שמצאנו, ניתן לכתוב את הפתרון בשני דרכים:

$x>0$ וגם $x\ne \frac{1}{9}$

$0<x<\frac{1}{9}$ או $x>\frac{1}{9}$