מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/כללי גזירת פונקציות

לכל פונקציה פשוטה יש נגזרת משל עצמה כפי שהוצגו בפרק רשימת נגזרות. הבעיה היא שעל פי רוב איננו פוגשים בפונקציה פשוטה (לדוגמה,$y=2x$) אלא במספר פונקציות אשר מחוברות באמצעות אחת מפעולות החשבון (סכום, מכפלה, מכנה, הפרש) או הצבה [פונקציה "מורכבת"] (לדוגמה, $y=(x+1{)}^2$).

כללי נגזרות

• /סכום של פונקציות/: בהינתן שתי פונקציות, $f(x)$ ו- $g(x)$ , הנגזרת של סכומן היא:

  $[f(x)+g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$ .

  כלומר, נגזרת הסכום היא סכום הנגזרות. באופן דומה, הנגזרת של הפרש של שתי פונקציות היא הפרש הנגזרות של הפונקציות: $[f(x)-g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$ .

• /הכפלה בקבוע/: בהינתן פונקציה $f(x)$ וקבוע $c$ (מספר שלא תלוי ב- $x$), הנגזרת של מכפלת הקבוע בפונקציה היא:

  $[cf(x){]}^{\prime }=c{f}^{\prime }(x)$

  כלומר, ניתן לגזור את הפונקציה ללא הקבוע, ואז להכפיל חזרה בקבוע.

כללי הגזירה החשובים:

• /נגזרת של מכפלה/: בהינתן שתי פונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ , הנגזרת של מכפלתן היא:

  $[f(x)g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

  כלומר, יש לגזור את הפונקציה הראשונה, ולהכפיל בשנייה, ולהוסיף לזה את הפונקציה הראשונה מוכפלת בנגזרת הפונקצייה השנייה.

• /נגזרת של מנה/: בהינתן שתי פונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ , הנגזרת של המנה שלהן היא:

  $\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$

• פונקציה מורכבת וכלל השרשרת: כשאומרים פונקציה מורכבת בדרך כלל מתכוונים לפונקציה בה יש שתי פונקציות, האחת בתוך השנייה. דוגמה לקחו את ערך ה- $x$ בו מעוניינים והציבו אותו בפונקציה הראשונה, ואת התוצאה שקיבלנו מציבים בפונקציה השנייה. אם נסמן את הפונקציה הראשונה $h=g(x)$ ואת השנייה $f(x)$ נקבל שהפונקציה הכוללת היא: $y=f(g(x))=f(h)$.

  הנגזרת לפונקציה הינה: $[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(h)g^{\prime }(x)$ אך קיימים פונקציות שונות ומשנות ולכן נעזרים בכלל השרשרת.

• מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציות טריגונומטריות מורכבות (דוגמאות)