הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/אי-שוויון המשולש האינטגרלי

משפט

תהי $f$ פונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ . אזי מתקיים $|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$ .

הערה: ניתן להוכיח כי אם $f$ אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ , אז גם $|f|$ אינטגרבילית שם.

הוכחה

לכל $x\in [a,b]$ מתקיים $-|f(x)|\le f(x)\le |f(x)|$

ומתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק

$\begin{array}{c}\underset{a}{\overset{b}{\int }}-|f(x)|dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx\\ -\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx\end{array}$

ולכן $|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$ .

$◼$