מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/שטח משולש לפי צלע ושלוש זוויות

נוסחה

$S_{\mathrm{△}}=\frac{a^2*sin\beta *sin\gamma }{2sin\alpha }$

הוכחה

על פי משפט הסינוסים $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$ לכן $b=\frac{a*sin\beta }{sin\alpha }$

על פי נוסחת שטח משולש באמצעות שתי צלעות וזווית בניהן: $S=\frac{ab\cdot \sin (\gamma )}{2}$

נציב את הנוסחה הראשונה בשנייה ונקבל: $S=\frac{a*\frac{a*sin\beta }{sin\alpha }\cdot \sin (\gamma )}{2}$

$\frac{a^2*sin\beta *sin\gamma }{2sin\alpha }$

גרסה אלטרנטיבית

סכום הזוויות במשולש הוא $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ ולכן $\beta +\gamma =180^{\circ }-\alpha$

על פי הזהות $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin (\alpha )$ נקבל כי $sin(\alpha )=sin(\beta +\gamma )$

לפיכך נוכל לרשום במקום $\alpha$ את הזוויות $\beta +\gamma$ במכנה, כלומר נקבל:

$S_{\mathrm{△}}=\frac{a^2*sin\beta *sin\gamma }{2sin(\beta +\gamma )}$