מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשע"ז/035806/תרגיל 6

טוען את הטאבים...

תרגיל	נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a{x}^2+4x}{x^2+3x+b}$ $a,b$ הם פרמטרים. נתון $x=1$, $y=1$ הן אסימפטוטות של הפונקציה. מצא את $a$ ואת $b$ מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). האם יש לפונקציה אסימפטוטות נוספות המאונכות לצירים (מלבד $x=1$ ו-$y=1$)? הסבר מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. עבור אלו ערכי $x$ מתקיים $|f(x)|=-f(x)$? נמק. נגדיר $g(x)=f^2(x)*f^{\prime }(x)$ הראה כי השטח המוגבל על ידי ציר ה-$x$, על ידי גרף הפוקנציה $g(x)$ ועל ידי הישר $x=0.5$ הוא $\frac{1}{3}$. נמק את תשובתך
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

1

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

סעיף א

נמצא באמצעות האסימפטוטה האנכית $x=1$ את הפרמטר $b$ עבור הפונקציה: $f(x)=\frac{a{x}^2+4x}{x^2+3x+b}$

נציב $x=1$ ונשווה לאפס את המכנה $1^2+3*1+b=0$ לפיכך $b=-4$

נמצא באמצעות האסימפטוטה האופקית $y=1$ את הפרמטר $a$ עבור הפונקציה: $f(x)=\frac{a{x}^2+4x}{x^2+3x-4}$

מאחר ומדובר בפונקצית חזקה ניתן לבצע בדיקה זריזה. אנו נעזר בדרך הארוכה: $f(x)=\frac{\frac{a{x}^2}{x^2}+\frac{4x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}-\frac{4}{x^2}}$

נצמצם ונקבל $f(x)=\frac{a+\frac{4}{x}}{1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}$

נציב $x\to \mathrm{\infty }$ ונקבל $f(x)=\frac{a+\frac{4}{\mathrm{\infty }}}{1+\frac{3}{\mathrm{\infty }}-\frac{4}{{\mathrm{\infty }}^2}}$

על פי הנתונים $y=1$ ולכן $f(x)=\frac{a+0}{1+0-0}=1$ דהינו $a=1$

מכאן $f(x)=\frac{x^2+4x}{x^2+3x-4}$

סעיף ב

נמצא את תחום ההגדרה עבור $f(x)=\frac{x^2+4x}{x^2+3x-4}$

$x^2+3x-4\ne 0$

נעזר בטרינום $(x+4)(x-1)\ne 0$

$x\ne 1,x\ne -4$

סעיף 2

נמצא נקודות חיתוך עם ציר ה-y על ידי הצבה $x=0$

$f(x)=\frac{0^2+4*0}{0^2+3*0-4}=0$ נקודת החיתוך $(0,0)$

נמצא נקודות חיתוך עם ציר ה-x על ידי הצבה $y=0$

$\frac{x^2+4x}{x^2+3x-4}=0$

נפטר מהמכנה $x^2+4x=0$ נוציא גורם משותף: $x(x+4)=0$ ונקבל כי נקודות החיתוך $(0,0),(-4,0)$

סעיף 3

על פי סעיף 1 לפונקציה נקודה חשודה כאסימפטוטה אנכית נוספת $x=-4$ ואין אסימפטוטה אופקית נוספת (על פי סעיף א$f(x)=\frac{1+0}{1+0-0}$)

נבדוק האם הנקודה $x=-4$ יכולה להיות חור במידה ומאפסת את המונה ונקבל כי $\frac{(-4{)}^2+4*-4}{(-4{)}^2+3*-4-4}$ הנקודה מאפסת גם את המונה.

לפיכך יתכן כי יש לנו נקודה חשודה להיות חור. נציב בטבלה :

$-4.001$	$-4.01$	$-4$
0.800039992	0.80003992016	גבול חשוד	$y$

מאחר שערך ה-y קטן ככל שמתקרבים לנקודה => חור.

[אפשרות אחרת היא לצמצם את הפונקציה : $\frac{(x(x+4)}{(x-1)(x+4)}$ ולקבל $\frac{(x}{(x-1)}$

כאשר נציב $x\to \mathrm{\infty }$ נקבל כי y אינו שואף לאינסוף ולכן יש לנו חור]

סעיף 4

נגזור את הפונקציה $\frac{x(x+4)}{(x+4)(x-1)}$ כלומר את הפונקציה $\frac{x}{(x-1)}$ על פי פונקצית מנה:

$\frac{1(x-1)-(x)*1}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}=0$

נשווה לאפס ונמצא נקודות קיצון:$\frac{-1}{(x-1{)}^2}=0$ אין נקודות חיתוך. לכן עליה וירידה תלוי בחור ובאסימפטוטה $x=1$

ירידה $x>1-4<x<1x<-4$

עליה: אין.

סעיף ד

עבור אלו ערכי $x$ מתקיים $|f(x)|=-f(x)$? נמק.

במילים אחרות נשאל מתי $f(x)\le 0$.

נביט בסרטוט ונראה כי הערכים בהם הפונקציה קטנה מאפס הם $0\le x<1$

סעיף ה

נגדיר $g(x)=f^2(x)*f^{\prime }(x)$ הראה כי השטח המוגבל על ידי ציר ה-$x$, על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ ועל ידי הישר $x=0.5$ הוא $\frac{1}{3}$. נמק את תשובתך

נבצע אינטגרל : $\int 0-g(x)$ (ניתן לראות כי הפונקציה מתחת ציר ה-x מפני ש-f^2(x) תמיד חיובי ואילו הנגזרת על פי סעיף ד4 הוא שלילי).

$\int \frac{1}{3}*f^3(x)*f^{\prime }(x)$ תבנית:להשלים הוסף קטגוריה מתאימה בהתאם לקטגוריות הקיימות ב: פתרונות לבגרויות (לפי נושא) על פי הכיתוב: לפי "נושא - שאלון"