חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה

הגדרה

סכימה (Summation) מיוצגת על ידי סימן הסכימה, האות היוונית סיגמא, $\mathrm{\Sigma }$ והיא מוגדרת כך:

יהי סדרה של מספרים $a_m,a_{m+1},\dots ,a_n\in ℝ$ כאשר $m,n\in \mathbb{Z}$ כך שמתקיים $m\le n$ , אזי נכתוב כי סכום האיברים הוא: $\sum _{k=m}^n{a}_k=a_m+a_{m+1}+\cdots +a_{n-1}+a_n$.

• $k$ נקרא אינדקס הסכימה.

לחלופין, ניתן לקרוא את הצורה $\sum _{k=m}^n{a}_k=a_m+a_{m+1}+\cdots +a_{n-1}+a_n$ כסכום של הסדרה כאשר אנו רצים על אינדקס הסכימה ($k$) מהאות $m$ ועד האות $n$.

דוגמה 1

$\sum _{p=3}^7\frac{1}{2^p}=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}=\frac{31}{128}$

דוגמה 2

רשום את הסכום $5^3+5^4+5^5+\cdots +5^n$ תוך שימוש בסימן הסכימה.

תשובה: ישנן דרכים רבות לכתוב סכום זה בשימוש בסימן הסכימה. אין דרך יחודית כלשהי. שתים מהדרכים הן:

$5^3+5^4+5^5+\cdots +5^n=\sum _{k=3}^n{5}^k=\sum _{k=1}^{n-2}{5}^{k+2}$

דוגמא 3

חשב את $\sum _{k=1}^n{k}^2(2k-1)$ (הבע באמצעות $n$)

תשובה: נשתמש בכללים שהגדרנו קודם לכן ובזהויות הנ"ל ונקבל:

$\sum _{k=1}^n{k}^2(2k-1)=\sum _{k=1}^n(2k^3-k^2)=\sum _{k=1}^{n}2k^3-\sum _{k=1}^n{k}^2=2\sum _{k=1}^n{k}^3-\sum _{k=1}^n{k}^2$

$\begin{array}{c}=2\cdot \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{3n^2(n+1{)}^2-n(n+1)(2n+1)}{6}\\ =\frac{n(n+1)[3n(n+1)-(2n+1)]}{6}=\frac{n(n+1)(3n^2+3n-2n-1)}{6}\\ =\frac{n(n+1)(3n^2+n-1)}{6}\end{array}$

כללים לשימוש בסימן הסכימה

כלל 1: $\sum _{k=m}^{n}c\cdot a_k=c\cdot \sum _{k=m}^n{a}_k$

הוכחה: נפתח את שני אגפי הביטוי: $c{a}_m+c{a}_{m+1}+\cdots +c{a}_n=c(a_m+a_{m+1}+\cdots +a_n)$ ולפי חוק הפילוג, זה מוכיח את הכלל.

כלל 2: $\sum _{k=m}^n(a_k\pm b_k)=\sum _{k=m}^n{a}_k\pm \sum _{k=m}^n{b}_k$

הוכחה: נפתח את שני אגפי הביטוי: $(a_m\pm b_m)+\cdots +(a_n\pm b_n)=(a_m+\cdots +a_n)\pm (b_m+b_{m+1}+\cdots +b_n)$ ולפי חוק הקיבוץ וחוק החילוף, זה מוכיח את הכלל.

זהויות ידועות

הזהויות הבאות הן שימושיות ביותר תוך עבודה עם סימן הסכימה. יהי $c$ קבוע ויהי $n$ מספר שלם חיובי, אזי מתקיימות הזהויות הבאות:

זהות 1: $\sum _{k=1}^{n}c=nc$. (/הוכחה/)

זהות 2: $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ (/הוכחה - טור המספרים הטבעיים/)

ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחא לסכום סדרה חשבונית, כאשר הפרש האברים בסדרה הוא 1.

זהות 3 (סכום ריבועים): $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (/הוכחה - סכום ריבועים/)

זהות 4: $\sum _{k=1}^n{k}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$ (/הוכחה/)

זהות 5: $\sum _{k=1}^n{x}^k=\frac{x(x^n-1)}{x-1}$ (/הוכחה/)

ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחה לסכום סדרה הנדסית, כאשר מנת אבריה היא $x$ .

זהות 6 (סכום מספרים אי-זוגיים): $\sum _{i=1}^{n}2i-1=n^2$ (/הוכחה - סכום מספרים אי זוגיים/)

זהויות אלו מובאות כאן עבור המקרה $k=1$ מטעמי נוחיות, אך מובן כי ניתן להכלילן עבור כל $k=m$ כלשהו. את כולן ניתן להוכיח באמצעות אינדוקציה מתמטית על $n$ .

קישורים חיצוניים

• תרגילים (עם פתרונות מלאים) בשימוש בסימן הסכימה (מומלץ)