אלגברה לינארית/העתקות לינאריות

העתקה לינארית

יהיו $V, W$ מ"ו מעל שדה $𝔽$ . תהי $T : V \to W$ ה.ל.

$T (𝟎_{V}) = 𝟎_{W}$ כלומר העתקת האפס נותנת אפס.
הוכחה: $T ({\vec{0}}_{V}) = T (0_{F} \cdot {\vec{0}}_{V}) = 0_{F} \cdot T ({\vec{0}}_{V}) = {\vec{0}}_{W}$
$T (- \vec{v}) = - T (\vec{v})$
הוכחה: $T (- \vec{v}) = T (- 1 \cdot \vec{v}) = - 1 \cdot T (\vec{v}) = - T (\vec{v})$ .
העתקה שומרת על צירופים לינאריים: לכל סדרת וקטורים ${\vec{v}}_{1}, \dots, {\vec{v}}_{n} \in V$ ולכל סדרת סקלרים $c_{1}, \dots, c_{n} \in 𝔽$ מתקיים
$T (c_{1} {\vec{v}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{v}}_{n}) = c_{1} T ({\vec{v}}_{1}) + \dots + c_{n} T ({\vec{v}}_{n})$ (ובקיצור $T (\sum_{i = 1}^{n} c_{i} {\vec{v}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} T ({\vec{v}}_{i})$ )

הוכחה: $T (c_{1} {\vec{v}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{v}}_{n}) = T (c_{1} {\vec{v}}_{1}) + \dots + T (c_{n} {\vec{v}}_{n}) = c_{1} T ({\vec{v}}_{1}) + \dots + c_{n} T ({\vec{v}}_{n})$ ובקיצור $T (\sum_{i = 1}^{n} c_{i} {\vec{v}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} T (c_{i} {\vec{v}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} T ({\vec{v}}_{i})$