הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/חיוביות הפונקציה בקטע גוררת חיוביות האינטגרל

משפט

תהי $f:[a,b]\to ℝ$ אינטגרבילית, עבורה $f\ge 0$. אזי $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\ge 0$.

הוכחה

לכל סכום רימן $S(f,P,\left\{t_i\right\})$ נקבל: $S(f,P,\left\{t_i\right\})\ge 0$

ולכן אי-שוויון זה יישמר גם כאשר נשאיף את i לאינסוף, ונקבל ש-$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\ge 0$

QED