הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/רציפות גוררת אינטגרביליות

משפט

תהי $f:[a,b]\to ℝ$ רציפה בקטע, אזי $f$ אינטגרבילית בקטע.

הוכחה

מכיוון ש-$f$ רציפה בתוך קטע סגור, לפי משפט קנטור, $f$ רציפה בו במידה שווה.

כעת, יהי $\epsilon >0$. קיים עבורו $\delta >0$ כך ש- $|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon }{(b-a)}$. אם נסמן ב-$\omega$ להיות התנודה בקטע $I\subseteq [a,b]$, נקבל ש-$\omega (f,I)\le \frac{\epsilon }{(b-a)}$.

עבור כל חלוקה $P$ שלה יש עדינות קטנה מ-$\lambda$ נקבל:

$\omega (f,P)=\sum _{i=1}^n\omega (f,[x_{i-1},x_i])\cdot \mathrm{\Delta }{x}_i\le \sum _{i=1}^n\frac{\epsilon }{(b-a)}\mathrm{\Delta }{x}_i=\epsilon$

ולכן קרטיריון דארבו לאינטרגביליות מתקיים.

QED