אלגברה לינארית/מטריצת מעבר

משמעות של מטריצה

ווקטורי בסיס יכולים להיות ב"צורתן המינמלית, דהינו בערכי $I_{n}$ של הבסיס או לחילופין, לפי ערכם של בסיסים אחרים ${[\begin{matrix} 1 \\ 0, \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix}]}$ , ${[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]}$ , ${[\begin{matrix} 12 \\ 1, \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]}$ ועוד .

מטריצת המעבר אומרת לנו בכמה סקלרים יש לכפול את הווקטורים שלנו מבסיס A בכדי לקבל את אותם הווקטורים בבסיס B.

במילים אחרות, מטריצת המעבר אומרת לנו את יחס הווקטור אל וקטור קואורדינטות.

הגדרה

מטריצת מעבר בין בסיסים

יהיו $B, C$ בסיסים של מ"ו $V$ . נגדיר את מטריצת המעבר בין הבסיס $B$ לבסיס $C$ להיות $[I]_{C}^{B}$ כך שמתקיים לכל וקטור: $[I]_{C}^{B} [v]_{B} = [v]_{C}$ . כלומר, כפל המטריצה בוקטור הקואורדינאטות (ווקטור ההצגה) לפי בסיס $B$ , יתן את וקטור הקואורדינאטות (וקטור ההצגה) לפי בסיס $C$ .תבנית:ש טענה: אם $B = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ אז המטריצה $[I]_{C}^{B} = ([v_{1}]_{C}, [v_{2}]_{C}, \dots, [v_{n}]_{C})$ היא מטריצת המעבר בין $B$ ל- $C$ והיא גם המטריצה היחידה.

נהוג לסמן את מטריצת המעבר מבסיס $B$ לבסיס $C$ בסימון: $M_{C}^{B}$

$M_{C}^{B} * [v]_{B} = [v]_{C}$

מטריצת המעבר, אם כן, מבצעת את הפעולה: $M_{C}^{B} * [v]_{B} = [v]_{C}$

ובמילים, לוקחים ווקטור מבסיס $B$ , $[v]_{B}$ אל המטריצה שלנו ( $M^{B}$ ). מפעילים עליו את המטריצה שמעבירה אותו לבסיס $C$ , $M_{C}$ , ומקבלים את הווקטור בסיס $C$ , [v]_C.

$M_{D}^{C} M_{C}^{B} = M_{D}^{B}$

מהנוסחה $M_{C}^{B} * [v]_{B} = [v]_{C}$ ניתן להסיק את הנוסחה הכוללת: לכל שלושה בסיסים $B, C, D$ מתקיים $M_{D}^{C} M_{C}^{B} = M_{D}^{B}$

אלגברה לינארית/מטריצת מעבר

תוכן עניינים

משמעות של מטריצה

הגדרה

מטריצת מעבר בין בסיסים

$M_{C}^{B} * [v]_{B} = [v]_{C}$

$M_{D}^{C} M_{C}^{B} = M_{D}^{B}$

תפריט ניווט

אלגברה לינארית/מטריצת מעבר

משמעות של מטריצה

הגדרה

מטריצת מעבר בין בסיסים

MCB*[v]B=[v]C

MDCMCB=MDB

תפריט ניווט

חיפוש

$M_{C}^{B} * [v]_{B} = [v]_{C}$

$M_{D}^{C} M_{C}^{B} = M_{D}^{B}$