אלגברה לינארית/שחלוף מטריצה

שחלוף

שיחלוף (באנגלית: transpose) של מטריצה כלשהי $A\in {𝔽}^{m\times n}$ מסומן באופן הבא: $A^t$ או $A^T$ . מתקיים: $A^t\in {𝔽}^{n\times m}$ (כלומר, הגודל של המטריצה התהפך) ו- $[A^t{]}_{i,j}=[A{]}_{j,i}$ . כלומר, האברים מחליפים במקום שלהם בשורה והעמודה. לדוגמה: ${\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)}^t=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)$ . זאת אומרת צריך לכתוב את שורות A במאונך משמאל לימין וככה נקבל את המטריצה המשוחלפת.

קבוצה פורשת של מטריצה משוחלפת

יהי $S=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)\right\}$ ו-$V={ℝ}^3$. נדרג את $\left(\begin{array}{ccccc}1& |& 1& 0& 0\\ 2& |& 0& 1& 0\\ 3& |& 0& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& |& 1& 0& 0\\ 0& |& -2& 1& 0\\ 0& |& -3& 0& 1\end{array}\right)$ לכן $span\left(\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)\right)=\{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\in {ℝ}^3\mid \{\begin{array}{c}-2x_1+x_2=0\\ -3x_1+x_3=0\end{array}\}$

נמצא קבוצה פורשת של מטריצה משוחלפת: נכפיל $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=0\Rightarrow x_1+2x_2+3x_3=0$

לאחר העברת אגפים$x_1=-2x_2-3x_3$ נקבל $\{\left(\begin{array}{c}-2t_1-3t_2\\ t_1\\ t_2\end{array}\right)\mid t_1,t_2\in ℝ\}=span(\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)).$

נגדיר $l_1\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=-2x_1+2$ ו-$l_2\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=-3x_1+x_3$

$(l_1,l_2)$ בסיס של ${\left\{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\right\}}^0$ דהיינו $span\left(\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)\right)=\{x\in {ℝ}^3\mid \{\begin{array}{c}{l}_1\left(x\right)=0\\ l_2\left(x\right)=0\end{array}\}.$.

תכונות השחלוף

• $(A^t{)}^t=A$
• $(A+B{)}^t=A^t+B^t$
• $(\alpha A{)}^t=\alpha (A^t)$

• $\text{tr}(A^t)=\text{tr}(A)$

• $(AB{)}^t=B^t{A}^t$

תבנית:מבנה תבנית