אלגברה לינארית/משפט הממד על העתקות

הוכחה בנוסחת ההגדרה הראשונה

נסמן: מ"ו מימד סופי ולכן נסמן $d i m (V) = n$ .

$k e r (V) \in V$ הוא תת מרחב של $V$ ולכן נסמנו $d i m (k e r (T)) = k$

כלומר נקבל $\overset{B a s i s V}{\overset{⏞}{\underset{B a s i s T}{\underset{⏟}{v_{1}, v_{2} + \dots + v_{k}}} + \underset{n - k}{\underset{⏟}{v_{k + 1} + \dots + v_{n}}}}}$

אם נוכיח כי $d i m (i m (T)) = n - k$ , כלומר נרצה להוכיח כי הווקטורים $v_{k + 1} + \dots + v_{n}$ הם בסיס של התמונה.

טענה: $v_{k + 1} + \dots + v_{n}$ הם בסיס של התמונה.

פורשים את המרחב

סימנו כי $v_{1} + \dots + v_{n}$ הוא בסיס של $V$

נסמן את הצירופים הלינארים של כל ווקטורי המרחב $V$ : יהיה $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{3}$ כך ש- $v = c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}$

נתונה ההעתקה לינארית $T : V \to W$ . נפעיל אותה על ווקטור $v$ כללי שלנו ונייצג כל $w \in W$ נקבל $w = t (v) = T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n})$

נוציא את הסקלרים ונקבל $w = t (v) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{k} T (V_{k}) + c_{k + 1} (v_{k + 1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}))$

ידוע כי $v_{1}, \dots, v_{k} \in K e r (T)$ ולכן $w = t (v) = c_{1} \underset{0_{w}}{\underset{⏟}{T (v_{1})}} + \dots + c_{k} \underset{0_{w}}{\underset{⏟}{T (v_{k})}} + c_{k + 1} (v_{k + 1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}))$

על כן $w = t (v) = c_{k + 1} T (v_{k + 1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}))$ פורשת את כל התמונה.

בת"ל

נוכיח כי $w = c_{k + 1} T (v_{k + 1}), \dots, c_{n} T (v_{n})$ בת"ל כלומר צריך להוכיח כי $c_{k + 1} = . . . = c_{n} = 0_{F}$ .

כדי להוכיח אי-תלות ליניארית נניח שעבור הסקלרים $c_{k + 1}, . . ., c_{n}$ הצירוף הליניארי של הווקטורים $v_{k + 1}, . . ., v_{n}$ מביא לאפס השדה.

לפי הנחה נניח כי: $c_{1} T (v_{k + 1}) + . . . + c_{n} (T (v_{n})) = 0_{w}$

נוציא את T ונקבל $T (c_{1} (v_{k + 1}) + . . . + c_{n} (v_{n}) = 0_{w}$ , ובמילים אחרות, $T (c_{1} (v_{k + 1}) + . . . + c_{n} (v_{n}) \in k e r (T)$

לכן נוכל להשוואות את הווקטורים עם הווקטורים בגרעין, $T (c_{1} (v_{k + 1})) + . . . + c_{n} (v_{n}) = c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}$

נעביר אגפים, $T (c_{1} (v_{k + 1})) + . . . + c_{n} (v_{n}) - (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = 0$

קבלו קומבינציה לינארית של איברי הבסיס $V$ שמתאפסת ולכן, מאחר שווקטורי בסיס הם קבוצה בת"ל, גם צירוף לינארי בת"ל.

הוכחה בנוסחת ההגדרה השנייה

נסמן $n = \dim (V), k = ν (T)$ . צריך להוכיח $rank (T) = n - k$

יהי $A = {u_{1}, \dots, u_{k}}$ בסיס ל- $Ker (T)$ . אזי A בת"ל ב-V. כיון שכל קבוצה בת"ל מוכלת בבסיס, קיימת קבוצה $B = {u_{1}, \dots, u_{n}}$ שהיא בסיס ל-V.

נסמן $C = {T (u_{k + 1}), \dots, T (u_{n})}$ . אזי $# C = n - k$

יהי $\sum_{i = k + 1}^{n} α_{i} T (u_{i}) = {\vec{0}}_{W}$ צירוף לינארי של C, המתאפס.

אזי (כי ה"ל שומרת על צירופים לינאריים): $T (\sum_{i = k + 1}^{n} α_{i} u_{i}) = {\vec{0}}_{W}$

לכן, $\sum_{i = k + 1}^{n} α_{i} u_{i} \in Ker (T)$ .

בגלל שבסיס הוא קבוצה פורשת, קיימים סקלרים המקיימים $\sum_{i = 1}^{k} β_{i} u_{i} = \sum_{i = k + 1}^{n} α_{i} u_{i}$ , כלומר, $\sum_{i = 1}^{k} β_{i} u_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} 0 u_{i} = \sum_{i = 1}^{k} 0 u_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} α_{i} u_{i}$

בגלל יחידות ההצגה לפי בסיס, נקבל $\forall k < i \leq n : α_{i} = 0$ . לכן, C בת"ל.

יהי $x \in Im (T)$ . אזי $\exists v \in V : T (v) = x$

בגלל שבסיס פורש, קיימים סקלרים המקיימים $v = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} u_{i}$

נקבל: $x = T (v) = T (\sum_{i = 1}^{n} α_{i} u_{i}) = T (\sum_{i = 1}^{k} α_{i} u_{i}) + T (\sum_{i = k + 1}^{n} α_{i} u_{i}) = {\vec{0}}_{W} + \sum_{i = k + 1}^{n} α_{i} T (u_{i}) = \sum_{i = k + 1}^{n} α_{i} T (u_{i}) \in span (C)$ .

לכן, C פורשת את $Im (T)$ , ומכיון שהיא בת"ל, היא בסיס לה.

לכן, $rank (T) = \dim (Im (T)) = # C = n - k$ . מש"ל

אלגברה לינארית/משפט הממד על העתקות

תוכן עניינים

הוכחה בנוסחת ההגדרה הראשונה

פורשים את המרחב

בת"ל

הוכחה בנוסחת ההגדרה השנייה

תפריט ניווט

אלגברה לינארית/משפט הממד על העתקות

הוכחה בנוסחת ההגדרה הראשונה

פורשים את המרחב

בת"ל

הוכחה בנוסחת ההגדרה השנייה

תפריט ניווט

חיפוש