אלגברה לינארית/פעולות במרחב R^n

פעולות על ווקטורים במרחב ${ℝ}^n$

פעולת חיבור על שני וקטורים במרחב ${ℝ}^n$ מוגדרת ע"י: $(x_1,...,x_n)+(y_1,...,y_n)=(x_1+y_1,...,x_n+y_n)$

פעולת כפל וקטור בסקלר במרחב ${ℝ}^n$ מוגדרת ע"י: $k\cdot (x_1,..,x_n)=(k{x}_1,...,x_n)$

הגדרת ווקטור היחידה במרחב ${ℝ}^n$: $e_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],e_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],\dots ,e_n=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ n\end{array}\right]$ כאשר מספר האיברים בעמודת הווקטור נקבע על פי ה-$n$ של המרחב.

לדוגמה ב-$R^3$ ווקטור היחידה, $e_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

מערכת משוואות לינארית ב-$n$ נעלמים במרחב ${ℝ}^n$

כל מערכת משוואות ניתן להצגה על ידי קבוצות פתרונות שלה $\{v_0+t_1{v}_1+...+t_k{v}_k|t_1,..,t_k\in ℝ\}$ כאשר הווקטורים $v_0,v_1,...,v_k\in {ℝ}^n$ ולכן ניתן לייצג את מערכת המשוואות על ידי ווקטורים.

דוגמה: $x_1-2x_2=1$ אז נגדיר $x_2=t$ ונקבל את הייצוג הפרמטרי $(1+2t,t)=(1,0)+(2,1)t$

מטריצה במרחב ${ℝ}^n$

ייצוג מטריצה במרחב ${ℝ}^n$

כל מערכת משוואות ניתנת להצגה כמטריצה: יהי מערכת המשוואות $(x_1,..,x_n)\in {ℝ}^n$ אזי המטריצה $\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$

מטריצה כמייצגת מרחב ${ℝ}^m$

תהי מטריצה $A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$ אז ניתן לראות את המטריצה $A$ בגודל $m\times n$ כסדרה של ווקטורים $(c_1,c_2,\dots ,c_n)$ ב-$R^m$ כאשר $c_i\in {ℝ}^m$

דוגמה: תהי המטריצה $\left[\begin{array}{ccc}1& 9& -13\\ 20& 5& -6\end{array}\right]$ אז ניתן לייצגה כסדרה של וקטורים כאשר: $c_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 20\end{array}\right]c_2=\left[\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right]c_3=\left[\begin{array}{c}-13\\ -6\end{array}\right]$ כלומר המטריצה מורכבת משלושה ווקטורים ב-${ℝ}^2$

בשל תכונה זו נוכל לדבר על פעולות של חיבור וכפל מטריצות במרחב $R^n$.