אלגברה לינארית/תכונות כפל מטריצות

תכונות כפל מטריצות

• /כפל שלוש מטריצות מקיים כפל אסוציאטיבי/ - תהינה $A,B,C$ מטריצות אזי $(AB)C=A(BC)$

• הכפל דיסטריבוטיבי (פילוגי) עם פעולת החיבור. כלומר, $A(B+C)=AB+AC$ וגם $(A+B)C=AC+BC$

מטריצת היחידה

• אם מטריצה $A\in M_{m\times n}$ כפול מטריצת יחידה $I_m$ אז $I_m*A=A$.
• אם מטריצה $A\in M_{m\times n}$ אז $A*I_n=\left[\begin{array}{c}A{e}_1,..,A{e}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{C}_1,...,C_n\end{array}\right]=A$

מכפלה במטריצת האפס

• מטריצת האפס כפול כל מטריצה תיתן את מטריצת האפס (אם פעולת הכפל בין המטריצה למטריצת ה-$0$ מוגדרת)
• אם בשורה ה-$i$ יש שורת אפסים תתקבל מטריצה עם שורה בה יש אפסים רק כאשר נכפול מימן את המטריצה.

תהי $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$ אז $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 3\\ 0& 0\end{array}\right]$ (הכפלה עם מטריצה בעלת שורת אפסים מכיוון ימין) לעומת זאת, $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right]$ (הכפלה עם מטריצה בעלת שורת אפסים מכיוון שמאל לא מניבה מטריצה עם שורת אפסים!) מכאן שאסוציאטיביות אינה תכונה קיימת בכפל של שתי מטריצות.

• אם בעמודה ה-$j$ יש טור אפסים לא בהכרח נקבל מטריצה עם אפס.