אלגברה לינארית/תכונות כפל מטריצות/כפל שלוש מטריצות מקיים כפל אסוציאטיבי

תבנית:משפט

נסמן: $A = [\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}]$ , $B = [\begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{l 1} & \dots & b_{l m} \end{matrix}]$ ו- $C = [\begin{matrix} c_{11} & c_{1 l} \\ c_{k 1} & c_{k l} \end{matrix}]$

נכפל את המטריצות ונסמן, $\underset{l x n}{\underset{⏟}{B A}} = G = [\begin{matrix} g_{11} \\ g_{l n} \end{matrix}]$

וגם $\underset{k x m}{\underset{⏟}{C B}} = H = [\begin{matrix} h_{11} \\ h_{k m} \end{matrix}]$

נכפיל את המטריצות שהתקבלו במטריצה שלישית ונוכיח כי שתי ההכפלות זהות:

נתבונן על מכפלה $C G$ : המקדם בשורה ה - $i$ והעמודה ה- $j$ של $C G$ הינו $\sum_{r = 1}^{l} c_{i r} g_{r j} = \sum_{r = 1}^{l} c_{i r} \cdot (\sum_{s = 1}^{m} b_{r s} \cdot a_{s j}) = \sum_{r = 1}^{l} \sum_{s = 1}^{m} c_{i r} \cdot b_{r s} \cdot a_{s j}$
נתבונן על מכפלה $H A$ : המקדם בשורה ה - $i$ והעמודה ה- $j$ של $H A$ הינו $\sum_{s = 1}^{m} h_{i s} \cdot a_{s j} = \sum_{s = 1}^{m} (\sum_{r = 1}^{l} c_{i r} \cdot b_{r s}) \cdot a_{s j} = \sum_{s = 1}^{m} \sum_{r = 1}^{l} c_{i r} \cdot b_{r s} \cdot a_{s j}$

שני הביטויים זהה ולכן מכפלת שלוש המטריצות שווה.

אלגברה לינארית/תכונות כפל מטריצות/כפל שלוש מטריצות מקיים כפל אסוציאטיבי

תפריט ניווט

חיפוש