אלגברה לינארית/מציאת בסיס לסכום תתי מרחבים

יהי $U = {\begin{matrix} [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}] \in ℝ^{4} | \begin{matrix} x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0 \\ x_{1} - x_{4} = 0 \end{matrix} \end{matrix}$ ו- $W = {\begin{matrix} [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}] \in ℝ^{4} | \begin{matrix} x_{1} + x_{4} = 0 \\ 3 x_{1} - x_{2} - x_{3} = 0 \end{matrix} \end{matrix}$

נמצא מערכת פתרונות למערכות:

$[\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}] \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]$ אזי מערכת הפתרונות הינה ${[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] t_{1} + [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] t_{2} | t_{1}, t_{2} \in ℝ}$ ולכן $[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ בסיס.

נמצא בסיס עבור W: $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & - 1 & - 1 & 0 \end{matrix}] \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{matrix}]$ אזי מערכת הפתרונות הינה ${[\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] t_{1} + [\begin{matrix} - 1 \\ - 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] t_{2} | t_{1}, t_{2} \in ℝ}$ ולכן $[\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} - 1 \\ - 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ בסיס.

נבצע דירוג לפי שורות ל- $[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & - 3 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}] \to [\begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$

קבלנו מטריצה משולשת ולכן אם נמשיך לדרג נקבל מטריצה יחידה. על כן בכל שורה ועמודה יש איבר מוביל ועל כן $[\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} - 1 \\ - 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ בסיס של סכום הוקטורים

אלגברה לינארית/מציאת בסיס לסכום תתי מרחבים

תפריט ניווט

חיפוש