הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש ריבועי

לכל $a>0$ קיים $x\in ℝ$ עבורו $x^2=a$.

הוכחה

נגדיר קבוצה $A=\{r\in ℝ:r\ge 0,r^2<a\}$.

זו קבוצה לא־ריקה (כי $0\in A$) וחסומה מלמעלה על־ידי $a$ (כי לכל $r>a$ מתקיים $r^2>a^2>a$).

לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון $x$. כעת נוכיח כי $x^2=a$.

• נניח בשלילה כי $x^2<a$.

מתקיים $x<\frac{a}{x}$. נגדיר ממוצע חשבוני $y=\frac{x+\frac{a}{x}}{2}$. לכן $x<y<\frac{a}{x}$.

על־פי אי־שוויון הממוצעים מתקיים $y^2>x\cdot \frac{a}{x}=a$. מזה נקבל ${\left(\frac{a}{y}\right)}^2<a$.

לכן $\frac{a}{y}\in A$. אבל $\frac{a}{y}>x$ אף שהנחנו כי $x$ חסם עליון. סתירה!

• נניח בשלילה כי $x^2>a$.

מתקיים $x>\frac{a}{x}$. לכן $\frac{a}{x}<y<x$.

כ.נ.ל מתקיים $y^2>a$. מההגדרה לכל $r\in A$ מתקיים $r^2<a<y^2$.

לכן $r<y<x$. כלומר $y$ חסם מלמעלה של $A$, אף שהנחנו כי $x$ חסם עליון. סתירה!

לכן $x^2=a$.

$◼$