אלגברה לינארית/בסיסים של גרעין ותמונה

מציאת בסיס לגרעין

הגרעין הוא אוסף הפתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית $A x = 0$ :

לפי הגדרת הגרעין, $Ker (T) = {v \in V | T (v) = 0_{W}} \subseteq V$ .

$v$ הוא ווקטור ולכן ניתן להציגו גם כך $[\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$ ההעתקה גם היא ניתנת להצגה באמצעות מטריצה ולכן נקבל לפי הגדרה $Ker (T) = {[\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] | A * [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] = 0}$ .

כלומר הוא אוסף כל הפתרונות שהמשוואה שלהן שווה אפס. לפיכך כאשר נתון לנו מטריצת העתקה $T [(\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})] = (\begin{matrix} a_{11} x_{1} & a_{12} x_{2} & \dots & x_{n} a_{1 n} \\ a_{21} x_{1} & a_{22} x_{2} & \dots & a_{2 n} x_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + & a_{m 2} x_{2} & \dots & a_{m n} x_{n} \end{matrix})$

וברצוננו למצוא בסיס לגרעין:

נדרג את מטריצת העתקה (המקדמים בלבד ללא הנעלמים).
נמצא את אוסף הפתרונות של המטריצה השווים ל- $b = 0$

ווקטורי הפתרון הם הבסיס, ובתנאי ששונים מאפס, הפורשים את גרעין T.

איך מוצאים בסיס לתמונה?

על פי הגדרה התמונה של $T$ תהיה $Im (T) = {T (v) | v \in V}$ כלומר $Im (T) = {[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] | [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] \in V}$

במילים אחרות התמונה היא אוסף קומבינציות לינאריות של עמודות A שהוא תת מרחב הנפרש על ידי העמודות.

לפיכך כאשר נרצה למצוא בסיס לתמונה של העתקה $T [(\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})] = (\begin{matrix} a_{11} x_{1} & a_{12} x_{2} & \dots & x_{n} a_{1 n} \\ a_{21} x_{1} & a_{22} x_{2} & \dots & a_{2 n} x_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + & a_{m 2} x_{2} & \dots & a_{m n} x_{n} \end{matrix})$ נבצע את הפעולות הבאות:

נדרג את המטריצה המשוחלפת ל-A (המטריצה של המקדמים בלבד).
שחלוף הווקטורים המתקבלים לאחר הדרוג הוא בסיס התמונה.

דוגמא

תהי $T ([\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]) = [\begin{matrix} x - 2 y - z \\ - 2 x + 4 y + 2 z \end{matrix}] \Leftrightarrow A = [\begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 \\ - 2 & 4 & 2 \end{matrix}]$ נמצא בסיס לגרעין ולתמונה של $T_{A} : ℝ^{3} \to ℝ^{2}$

נדרג את $A$ ונקבל $[\begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$ . נמצא את אוסף הפתרונות של המערכת (מפני שהגרעין מקיים $a x = 0$ ) הוא: ${[\begin{matrix} 2 t_{1} + t_{2} \\ t_{1} \\ t_{2} \end{matrix}]} = {t_{1} [\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] + t_{2} [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] ∣ t_{1}, t_{2} \in ℝ}$ ולכן ${[\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]}$ הוא בסיס לגרעין.

כמו כן, העמודה היחידה עם איבר מוביל היא הראשונה, ולכן ${[\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}]}$ הוא בסיס לתמונה.

אלגברה לינארית/בסיסים של גרעין ותמונה

מציאת בסיס לגרעין

איך מוצאים בסיס לתמונה?

דוגמא

תפריט ניווט

חיפוש