מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/נפחים

חישובי נפחים באמצעות אינטגרל הם דרך לחשב נפח של גוף סיבוב (צורה המסתובבת סביב אחת מצלעותיה).

החישוב נעשה באמצעות אינטגרל מסוים (הפרש בין אינטגרלים, מה שמוחק את c כי $\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)=F(a)-F(b)$ וכך מחסרים את c מc והוא נמחק).

חישוב

נסמן נקודה $(a,f(a))$ שתשמש כנקודת מוצא. הפונקציה $V(x)$ היא הפונקציה שמתאימה לכל ערך $x_1$ את נפח גוף הסיבוב המתקבל מסיבוב של השטח בין הפונקציה $f(x)$, הישרים $y=a$, ו- $y=x_1$, וציר הx, סביב ציר הx.

נחשב את הנגזרת של הפונקציה $V(x)$:

$V^{\prime }(x)=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{V(x)-V(x_1)}{x-x_1}$

ברור שההפרש $V(x)-V(x_1)$ קטן מהגליל שנוצר מסיבוב מלבן $x_{1}xDE$ סביב $x_{1}x$, וגדול מהגליל שנוצר מסיבוב מלבן $x_{1}xBC$ סביב $x_{1}x$. נקבל:

$\pi f(x{)}^2\cdot (x-x_1)\le V(x)-V(x_1)\le \pi f(x_1)\cdot (x-x_1)$ (הקטע $Cx$ שווה ל$f(x)$ והקטע $D{x}_1$)

נחלק ב$x-x_1$ ונקבל:

$\pi f(x{)}^2\le \frac{V(x)-V(x_1)}{x-x_1}\le \pi f(x_1{)}^2$

נפעיל גבול:

$\underset{x_1\to x}{\lim }\pi f(x_1{)}^2\le \underset{x_1\to x}{\lim }\frac{V(x)-V(x_1)}{x-x_1}\le \underset{x_1\to x}{\lim }\pi f(x{)}^2$

הגבול $\underset{x_1\to x}{\lim }f(x_1)$ שווה ל$f(x)$ ולכן:

$\pi f(x{)}^2\le V^{\prime }(x)\le \pi f(x{)}^2\Rightarrow V^{\prime }(x)=\pi f(x{)}^2$

כלומר הפונקציה $V(x)$ היא פונקציה קדומה של $\pi f(x{)}^2$. כעת נראה כי שימוש באינטגרל מסוים נותן ערך מדויק של הנפח:

נבחר פונקציה $F(x)$ שגם היא פונקציה קדומה של $\pi f(x{)}^2$. קיבלנו $V(x)=F(x)+c$. כאשר $x=a$ נקבל שהנפח שווה ל0 ולכן:

$F(a)+c=0\Rightarrow c=-F(x)\Rightarrow V(x)=F(x)-F(a)$

כלומר הנפח בין הישרים $x=a$ ו$x=b$ לכל a וb שעבורם הפונקציה מוגדרת וגם האינטגרל מוגדר $(b>a)$, הוא: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x{)}^{2}dx$.