מתמטיקה תיכונית/הנדסת המרחב/תיבה

התיבה היא מקבילון שפיאותיו מלבנים.

אלכסונים שווים

ארבעת האלכסונים המרחביים של התיבה שווים

הוכחה

נתבונן בתיבה משמאל. מכיוון שהפאות מלבניות, נקבל כי כל צמד מקצועות נגדיות הוא שווה. נגדיר:

• $AB=DC=A^{\prime }{B}^{\prime }=D^{\prime }{C}^{\prime }=a$
• $AD=BC=A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }=b$
• $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }=D{D}^{\prime }=c$

נקבל:

• $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{C}^2+CC{\text{'}}^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
• $B{D}^{\prime }=\sqrt{B{D}^2+DD{\text{'}}^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
• $C{A}^{\prime }=\sqrt{C{A}^2+AA{\text{'}}^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
• $D{B}^{\prime }=\sqrt{D{B}^2+BB{\text{'}}^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

$\Downarrow$

$A{C}^{\prime }=B{D}^{\prime }=C{A}^{\prime }=D{B}^{\prime }$

מש"ל.

נפח ושטח מעטפת

נפח התיבה שווה למכפלת הצלעות $V=a\cdot b\cdot c$.

שטח מעטפת התיבה שווה לסכום שטחי המלבנים, כלומר $S=2ab+2bc+2ac$