הוכחות מתמטיות/שונות/חישוב פאי

ברצוננו למצוא שיטה לחשב את הקבוע המתמטי $\pi$ בכל רמת דיוק שנרצה. נשתמש לשם כך בעובדה ששטח של מצולע חסום במעגל קטן משטח המעגל, שקטן משטח מצולע החוסם מעגל.

נגדיר מצולע משוכלל בעל n צלעות החסום במעגל. נחתוך אותו באמצעות רדיוס המעגל החוסם לn משולשים חופפים שווי שוקיים שכל זווית ראש בהם היא $\frac{2\pi }{n}$.

כעת נחשב את שטח המצולע ונקבל:

$n\frac{R^2\sin \frac{2\pi }{n}}{2}<\pi R^2\Rightarrow \frac{n}{2}\sin \frac{2\pi }{n}<\pi$

כעת נגדיר מצולע חוסם ונחתוך אותו ל2n משולשים ישרי זוית חופפים שהיתר בהם הוא הרדיוס ואחד הניצבים הוא מחצית מצלע המצולע. נחשב את שטחו:

$2n\frac{R\sin \frac{\pi }{n}R\cos \frac{\pi }{n}}{2}=n{R}^2\sin \frac{\pi }{n}\cos \frac{\pi }{n}>\pi R^2\Rightarrow n\sin \frac{\pi }{n}\cos \frac{\pi }{n}>\pi$

קיבלנו:

$\frac{n}{2}\sin \frac{2\pi }{n}<\pi <n\sin \frac{\pi }{n}\cos \frac{\pi }{n}$

לכל n. הצבה של n הולך וגדל תתן לנו דיוק גדול יותר ויותר של פאי.