מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/בעיות גידול ודעיכה/הגדרות הבעיות

בעיות גידול ודעיכה, הן בעיות מילוליות, שבהן חומר גדל או קטן בצורה מעריכית, כלומר לאחר שנה (כדוגמה, אפשר גם חודש או יום) החומר יהיה פי a מהחומר ההתחלתי, ולאחר שנתיים החומר יהיה פי $a^2$ מהחומר ההתחלתי וכו'. הפונקציה הכללית המתארת גידול או דעיכה מעריכיים היא $f(t)=k\cdot a^t$.

• $t$ הזמן שעבר מההתחלה
• $a>0$ המנה, כלומר $a=\frac{f(t+1)}{f(t)}$ לכל $t$
• $k>0$ הכמות ההתחלתית

אם $a>1$ הכמות תגדל מעריכית ואם $0<a<1$ הכמות תדעך מעריכית.

לדוגמה, אם בבריכה יש טון דגים ובכל חודש כמות הדגים מכפילה את עצמה, נקבל $f(t)=1000kg\cdot 2^t$. לא נסמן בדרך כלל את יחידת המידה, אלא נכתוב פשוט $f(t)=1\cdot 2^t$ ונקבל את כמות הדגים בטונות, או $f(t)=1000\cdot 2^t$ ונקבל את כמות הדגים בקילוגרמים.

מנוסחה זו נקבל דרך למצוא פרמטר אחד של הנוסחה על פי האחרים:

• $k=\frac{f(t)}{a^t}$
• $a={\left(\frac{f(t)}{k}\right)}^{\frac{1}{t}}$ ואם $t$ מספר טבעי נקבל $a=\sqrt[t]{\frac{f(t)}{k}}$
• $t={\log }_a\left(\frac{f(t)}{k}\right)=\frac{\ln f(t)-\ln k}{\ln a}$

/תרגילים/