מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/בעיות גידול ודעיכה/זמן מחצית החיים

נתון חומר רדיואקטיבי שדועך מעריכית. זמן מחצית החיים של החומר הוא הזמן שיעבור עד שתישאר רק חצי מכמות החומר ההתחלתית. נחשב את זמן מחצית החיים.

$f(t)=k\cdot a^t$ ואנו רוצים ש$f(t)=\frac{k}{2}$, כלומר:

$k\cdot a^t=\frac{k}{2}\Rightarrow a^t=\frac{1}{2}$ ולכן $t={\log }_a\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\ln \left(\frac{1}{2}\right)}{\ln a}=-\frac{\ln 2}{\ln a}$.

ראינו כי זמן מחצית החיים אינו תלוי בכמות ההתחלתית אלא רק בקצב הדעיכה a.

באותה דרך, אם נתון זמן מחצית החיים t, אז נוכל לקבל את קצב הדעיכה a:

$a^t=\frac{1}{2}\Rightarrow a={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{t}}=\sqrt[t]{\frac{1}{2}}$.

/תרגילים/