משוואות דיפרנציאליות רגילות/שיטת הפרדת משתנים

שיטת הפרדת המשתנים

שיטת הפרדת המשתנים היא שיטה לפתור משוואה דיפרנציאלית שניתן להביא לצורה הבאה: $p(y)y^{\prime }=q(x)$. הדרך לפתור את המשוואה היא להעביר את הdx אגף ולבצע אינטגרל על שני החלקים כך: $\frac{dy}{dx}p(y)=q(x)⟹p(y)dy=q(x)dx⟹\int p(y)dy=\int q(x)dx$ דברים שחשוב להתייחס אליהם: במקרה בו המשוואה מהסוג הזה:$y^{\prime }=q(x)/p(y)$ נצטרך לשים לב למקרים שבהם $p(y)=0$ ואם יהיו פתרונות שווי משקל$y^{\prime }=0=>y=c$.

הוכחה:

נשים לב שבצד שמאל של המשוואה למעלה מופיעה נגזרת סתומה של y כפונקציה של x. לכן נגדיר: $\int \frac{dy}{dx}p(y)=\int P(y)dy$ונשים לב בעזרת גזירה לפי כלל השרשרת שהפונקציה שמצאנו אכן פותרת את המשוואה הדיפרנציאלית.