חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/גבול של סדרה

קצת אינטואיציה לגבי גבול של סדרה

מושג הגבול הוא כנראה בין המושגים הכי חשובים ומרכזיים בחשבון האינפיניטסימלי, הוא מופיע כמעט בכל מקום, ויש לו חשיבות רבה, מושג הגבול והגדרתו לא פשוטים, אבל אני אנסה לפשט את זה ככל שניתן, על מנת שתוכלו להבין את הגדרת הגבול בצורה הטובה ביותר, ולהיות מאסטרים בחשבון אינפיניטסימלי. לפתיחה, נתחיל עם כמה דוגמאות:

$0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . .$
$5, 5, 5, 5, 5 . . . .$
$0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999 . . . .$

בדוגמא הראשונה, ראינו סדרה אינסופית שמוגדרת בצורה $a_{n} = n$ , כלומר האיבר הראשון הוא אחד, האיבר השני הוא שתיים, וכו'... אפשר לראות די בקלות שהסדרה לא "מתקדמת" לעבר מספר ממשי כל שהוא, ולכן אנחנו אומרים שאין לה גבול. בדוגמא השנייה, אנחנו רואים סדרה אינסופית המוגדרת בצורה $a_{n} = 5$ , היא סדרה קבועה, כלומר לא משנה באיזה אינדקס נבחר, האיבר שנקבל יהיה 5, אז כמובן שיש ערך שהסדרה "מתקדמת" לכיוונו, והוא 5, לכן במקרה שלנו הגבול של הסדרה יהיה המספר הממשי 5. בדוגמא השלישית, אנחנו רואים סדרה שמוגדרת בצורה $a_{n} = a_{n - 1} + \frac{9}{1 0^{n}}$ , כאשר $a_{0} = 0$ , כלומר כל פעם שנתקדם אינדקס אחד קדימה, נוסיף עוד 9 בנקודה עשרונית קדימה מהמספר שהאינדקס הקודם היה שווה אליו, ניתן לראות שהסדרה שלנו "מתקדמת" לכיוון המספר 1, ולכן נאמר שגבולה הוא 1.

אפשר להגיד בצורה מאוד לא פורמלית, שגבול של סדרה הוא הערך(אם קיים כזה) שהסדרה תתקרב אליו ככל שנתקדם עם האינדקסים לעבר אינסוף(גם אם שום איבר בסדרה יהיה שווה לערך הזה, אנחנו רק דורשים שהוא יתקרב אליו.), אבל זו רק אינטואיציה לא פורמלית, ולכן הגיע הזמן לעבור אל הגדרת הגבול.

הגדרת הגבול של סדרה

תבנית:מבנה תבנית

אוקיי, אז כרגע אנחנו יודעים איך ההגדרה נראית, בואו נסביר אותה. עקרונית מה שההגדרה אומרת, זה שהסדרה $(a_{n})_{n = 1}^{\infty}$ תתכנס למספר הממשי $L$ , אם לכל מספר ממשי חיובי שנבחר, נוכל למצוא אינדקס, שהחל ממנו(לכל האינדקסים שגדולים ממנו) כל איברים הסדרה יהיו קרובים ל $L$ עד למרחק של המספר שבחרנו, כלומר נוכל "לקרב" את איברי הסדרה אל ערך הגבול, ככל שרק נרצה. כעת אתן כמה דוגמאות על הוכחת גבול של סדרה.

תבנית:מבנה תבנית

ובכך הוכחנו את הגבול של הסדרה, כעת נעבור למשפטים מרכזיים בתורת הגבולות, ובפרט גבולות של סדרות. נראה את המשפטים ולאחר מכן את ההוכחות שלהם, כאשר אנחנו נעזרים בהגדרת הגבול כמובן.

משפטי גבולות

תבנית:משפט

כעת יש בידינו עוד קצת כלים, אבל עדיין יש רשימה של משפטים מאוד חשובים(וגם די טריוויאלים) שנצטרך כדי להמשיך לבנות את התאוריה היפה הזו שנקראת חשבון אינפיניטסמלי, אז כעת נעבור קבוצת המשפטים הבאה, שהיא לא אחרת מאשר אריתמטיקה של גבולות, כמו מקודם, אציין את המשפטים ולאחר מכן אוכיח אותם.

אריתמטיקה של גבולות

תבנית:משפט

כעת צברנו עוד קצת כלים, אבל עדיין יש משהו שנראה לנו לא ממש ברור, מה נעשה עם סדרות מהסגנון שלא שואף לערך סופי? כלומר, סדרה כמו $a_{n} = n$ ?, שככל שנתקדם גבוה יותר עם האינדקסים, איברי הסדרה יגדלו ויגדלו... בשביל זה יש לנו את ההגדרה הבאה:

גבול במובן הרחב

תבנית:מבנה תבנית

אינטואיטיבית, מה שההגדרה אומרת, זה שאם נרצה להוכיח שסדרה שואפת לאינסוף, אז לכל איבר שנבחר, קיים אינדקס מסויים שממנו ואילך איברי הסדרה גדולים מהמספר שבחרנו, ואם אנחנו רוצים להוכיח לגבי מינוס אינסוף, נצטרך שהחל מאינדקס זה, כל איברי הסדרה קטנים מהמספר שבחרנו.

תבנית:מבנה תבנית

כעת נעבור למשפטים חשובים לגבי שאיפה לאינסוף, חלקם טריוויאלים וחלקם פחות, כמו מקודם, אציין את המשפטים ולאחר מכן אוכיח אותם בסדר מתאים.

אריתמטיקת גבולות באינסוף

תבנית:משפט

הוכחה:

כיוון שמתקיים $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ , קיים $N_{0} \in ℕ$ כך שלכל $n > N$ מתקיים $a_{n} > 0$ , וכיוון ש $\lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty$ לכל $M$ קיים $N_{1}$ כך שלכל $n > N_{1}$ מתקיים $b_{n} > M$ , לכן נבחר $N = \max (N_{0}, N_{1})$ , אז מתקיים $b_{n} > M$ וכיוון ש $a_{n} > 0$ , נקבל שמתקיים גם $a_{n} + b_{n} > M$ , ולכן $\lim_{n \to \infty} a_{n} + b_{n} = \infty$ $◼$ .

כיוון שמתקיים $\lim_{n \to \infty} b_{n} = L \in ℝ$ , קיים $N_{0}$ כך שלכל $n > N$ מתקיים $b_{n} > L - 1$ , וכיוון ש $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ , לכל $M$ קיים $N_{1}$ כך שלכל $n > N_{1}$ מתקיים $a_{n} > M - (L - 1)$ , לכן נבחר $N = \max (N_{0}, N_{1})$ , ונקבל $a_{n} + b_{n} > M - (L - 1) + L - 1 = M$ , ולכן $\lim_{n \to \infty} a_{n} + b_{n} = \infty$ . $◼$ .

כיוון שמתקיים $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ , קיים $N_{0} \in ℕ$ כך שלכל $n > N$ מתקיים $a_{n} > 1$ , וכיוון ש $\lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty$ לכל $M$ קיים $N_{1}$ כך שלכל $n > N_{1}$ מתקיים $b_{n} > M$ , לכן נבחר $N = \max (N_{0}, N_{1})$ , אז מתקיים $b_{n} > M$ וכיוון ש $a_{n} > 1$ , נקבל שמתקיים גם $a_{n} \cdot b_{n} > M$ , ולכן $\lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot b_{n} = \infty$ . $◼$ .

כיוון שמתקיים $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ ,לכל $M$ קיים $N_{0} \in ℕ$ כך שלכל $n > N$ מתקיים $a_{n} > \frac{5 M}{L}$ , וכיוון ש $\lim_{n \to \infty} b_{n} = L > 0$ קיים $N_{1}$ כך שלכל $n > N_{1}$ מתקיים $b_{n} > \frac{L}{5}$ , לכן נבחר $N = \max (N_{0}, N_{1})$ , אז מתקיים $a_{n} > \frac{M}{5 L}$ וגם $b > \frac{L}{5}$ , לכן $a_{n} b_{n} > \frac{5 M}{L} \cdot \frac{L}{5} = M$ , ולכן $\lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot b_{n} = \infty$ . $◼$ .

יהי $ϵ > 0$ , כיוון שמתקיים $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ , אזי קיים $N_{0} \in ℕ$ כך שלכל $n > N$ מתקיים $a_{n} > \frac{1}{ϵ}$ , ולכן $\frac{1}{a_{n}} < ϵ$ , ולפי תכונות הערך המוחלט $| \frac{1}{a_{n}} | < ϵ$ , ולפי הגדרת הגבול מתקיים $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ . $◼$ .

יהי $ϵ > 0$ , לפי הגדרת הגבול ומההנחה שמתקיים $a_{n} > 0$ , קיים $N_{0} \in ℕ$ כך שלכל $n > N$ מתקיים $a_{n} < ϵ$ , ולכן $\frac{1}{a_{n}} > \frac{1}{ϵ}$ , לכן לכל $M$ נבחר $ϵ = \frac{1}{M}$ ולכן $\frac{1}{a_{n}} > \frac{1}{ϵ} = M$ , ולפי הגדרת הגבול במובן הרחב מתקיים $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n}} = \infty$ $◼$ .

עוד משפט טריוויאלי אך חשוב:

תבנית:משפט

תבנית:הוכחה

ובכך סיימנו את הדיון שלנו על גבולות במובן הסופי והרחב, הוכחנו משפטים יסודיים וחשובים, ובפעם הבאה נתעסק בסדרות חסומות, בכמה מושגים חדשים, בתכונותיהן ובכמה משפטים מרכזיים הנוגעים בסדרות חסומות.

חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/גבול של סדרה

תוכן עניינים

קצת אינטואיציה לגבי גבול של סדרה

הגדרת הגבול של סדרה

משפטי גבולות

אריתמטיקה של גבולות

גבול במובן הרחב

אריתמטיקת גבולות באינסוף

תפריט ניווט

חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/גבול של סדרה

קצת אינטואיציה לגבי גבול של סדרה

הגדרת הגבול של סדרה

משפטי גבולות

אריתמטיקה של גבולות

גבול במובן הרחב

אריתמטיקת גבולות באינסוף

תפריט ניווט

חיפוש