הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש מסדר n

לכל $y > 0$ ולכל $n \in ℕ$ קיים $x \in ℝ$ עבורו $x^{n} = y$ .

נגדיר קבוצה $A = {r \in ℝ : r \geq 0, r^{n} < y}$ .

זו קבוצה לא־ריקה (כי $0 \in A$ ) וחסומה מלמעלה על־ידי $y + 1$ (כי לכל $r > y + 1$ מתקיים $r^{n} > r > y$ ).

לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון $x$ . כעת נוכיח כי $x^{n} = y$ .

די למצוא

0 < ε < 1

עבורו

(x + ε)^{n} < y

:

\begin{matrix} (x + ε)^{n} & = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} ε^{k} \\ = x^{n} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} ε^{k} \\ \leq x^{n} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} ε : ε^{k} \leq ε \\ = x^{n} + ε \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} \\ = x^{n} + ε (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} - x^{n}) \\ = x^{n} + ε [(x + 1)^{n} - x^{n}] < y \\ ε & < \min {1, \frac{y - x^{n}}{(x + 1)^{n} - x^{n}}} \end{matrix}

כלומר

x + ε \in A

, אבל

x < x + ε

ולכן

x + ε \notin A

. סתירה.

כ.נ.ל די למצוא

0 < ε < 1

עבורו

(x - ε)^{n} > y

:

\begin{matrix} (x - ε)^{n} & = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} (- ε)^{k} \\ = x^{n} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} (- ε)^{k} \\ \geq x^{n} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} (- ε) : (- ε)^{k} \geq - ε \\ = x^{n} - ε \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} \\ = x^{n} - ε (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} - x^{n}) \\ = x^{n} - ε [(x + 1)^{n} - x^{n}] > y \\ ε & < \min {1, \frac{x^{n} - y}{(x + 1)^{n} - x^{n}}} \end{matrix}

כלומר

x - ε \notin A

, אבל

x - ε < x

ולכן

x - ε \in A

. סתירה.

לכן $x^{n} = y$ .

$◼$

תפריט ניווט