הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר אי-רציונלי

הקבוע המתמטי $\pi =3.141592\dots$ (היחס בין היקף מעגל וקוטרו) הוא מספר אי־רציונלי. לאמר, לא ניתן לבטאו כמנת שני מספרים שלמים.

הוכחה

נניח בשלילה כי $\pi$ רציונלי, כלומר קיימים $a,b\in \mathbb{N}$ עבורם $\pi =\frac{a}{b}$.תבנית:ש לכל $n\in \mathbb{N}$ נגדיר פולינום

$f(x)=\frac{x^n(a-bx{)}^n}{n!}=\sum _{m=n}^{2n}\frac{c_m}{n!}{x}^m,:c_m\in \mathbb{Z}$

מתקיים $f(x)=f(\pi -x)$ ולכן

$\begin{array}{cc}{f}^{(k)}(x)=(-1{)}^k{f}^{(k)}(\pi -x)& =\{\begin{array}{cc}\sum _{m=n}^{2n}\frac{k!}{n!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})c_m{x}^{m-k}& :0\le k\le n-1\\ \sum _{m=k}^{2n}\frac{k!}{n!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})c_m{x}^{m-k}& :n\le k\le 2n\end{array}\\ f^{(k)}(0)=(-1{)}^k{f}^{(k)}(\pi )& =\{\begin{array}{cc}0& :0\le k\le n-1\\ \frac{k!}{n!}{c}_k& :n\le k\le 2n\end{array}\end{array}$

עתה נגדיר $N=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (x)f(x)dx$. האינטגרנד חיובי בקטע הפתוח $(0,\pi )$ ומתאפס רק בקצוות, ולכן מתקיים $N>0$.תבנית:ש שימוש חוזר באינטגרציה בחלקים מאפשר לנו להסיק כי

$N=-\cos (x)f^{(0)}(x){|}_0^{\pi }+\sin (x)f^{(1)}(x){|}_0^{\pi }+\cos (x)f^{(2)}(x){|}_0^{\pi }-\cdots \pm \cos (x)f^{(2n)}(x){|}_0^{\pi }\mp \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (x)f^{(2n+1)}(x)dx$

האינטגרל האחרון מתאפס מפני שהביטוי $f^{(2n+1)}(x)$ הוא פולינום האפס, שכן $\mathrm{deg}(f)=2n$.תבנית:ש מכיוון שלכל $0\le k\le 2n$ הפונקציות $f^{(k)}(x),\sin (x),\cos (x)$ מקבלות ערכים שלמים בקצות הקטע, אזי $N$ מספר שלם.

מאידך, בקטע הפתוח מתקיים

$\begin{array}{cc}& 0<x<\pi \\ & 0<a-bx<a\\ & 0<\sin (x)<1\end{array}$

ולכן $0<N<\pi \frac{(\pi a{)}^n}{n!}$. אך עבור $n$ גדול מספיק מתקיים $0<N<1$. סתירה.

$◻$

מסקנה: $\pi$ מספר אי־רציונלי.

$◼$