הסתברות/מבוא/הסתברות מותנית

תבנית:הסתברות הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.

הגדרה

כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה $\mathbb{P}(B)=0$. אא"כ יצוין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.

דוגמא

נניח כי בתל־אביב גרים 100 בנים ו־20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו־50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.

• מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
  • ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הוא $\frac{70}{210}$, כלומר שליש.
• מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל־אביב?
  • כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הוא בחירת בת והמאורע B הוא שנבחר תושב תל־אביב. קל לראות כי $P(A)=\frac{1}{3}$ וכן $P(B)=\frac{120}{210}=\frac{4}{7}$. ההסתברות $P(A\cap B)$ היא ההסתברות להיות בת וגם בתל־אביב – ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן $P(A\cap B)=\frac{2}{21}$. כעת נציב בנוסחא לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל־אביב היא:

$$P(A|B)=\frac{\frac{2}{21}}{\frac{4}{7}}=\frac{1}{6}$$

תכונות

המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית. תבנית:משפט

בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.

מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.

תבנית:משפט בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.

הסתברות מותנית של מאורעות בלתי־תלויים

התניה במאורע בלתי־תלוי אינה משנה את ההסתברות: תבנית:משפט

המקרה האקראי הסימטרי

במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות היא פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.

נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה $\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{\frac{|A\cap B|}{|\mathrm{\Omega }|}}{\frac{|B|}{|\mathrm{\Omega }|}}=\frac{|A\cap B|}{|B|}$.

כלומר, בהנחה ש־$B$ ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל־$A$, כלומר הפרופורציה של $A$ בהנחה שיש לבחור מתוך $B$.