הסתברות/וקטורים אקראיים

נהוג לקרוא לוקטור - אקראי, ולמשתנה - מקרי. וקטור אקראי (נהוג לקצר: ו"א) זהו וקטור שכל איבריו משתנים מקריים.

מבוא

שימו לב כי גם כאן פונקצית ההסתברות יכולה לקבל ערכים אי-שליליים בלבד. פונקציה זו נקראת גם פונקצית ההסתברות המשותפת.

תכונות פונקצית ההתפלגות

על מנת לפשט את הדיון בפונקצית ההתפלגות, נניח כי מדובר בו"א דו-מימדי:

$F_{X,Y}(x,y)=\mathbb{P}(X\le x,Y\le y)$ ואז:

• $0\le F_{X,Y}(x,y)\le 1$
• $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to -\mathrm{\infty }}{F}_{X,Y}(x,y)=0,\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{y\to -\mathrm{\infty }}{F}_{X,Y}(x,y)=0$
• $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}{F}_{X,Y}(x,y)=\mathbb{P}(Y\le y)=F_Y(y),\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{y\to \mathrm{\infty }}{F}_{X,Y}(x,y)=\mathbb{P}(X\le x)=F_X(x)$
• F מונוטונית עולה בכל רכיב בנפרד.
• יהי A המלבן שקודקודיו $(x,y),(x+a,y),(x,y+b),(x+a,y+b);a,b\ge 0$, אז: $\mathbb{P}(\{x,y\}\in A)=F_{X,Y}(x+a,y+b)-F_{X,Y}(x,y+b)-F_{X,Y}(x+a,y)+F_{X,Y}(x,y)\ge 0$

שימו לב כי גם כאן ההסתברות פרופורציונית לשטח.

וקטור אקראי בדיד

למעשה, מה שמתבצע בחישוב ההסתברות השולית הוא סכימה על כל המשתנים פרט ל-x_i, והמשמעות היא שכל האירועים, פרט לאלו המתוארים על ידי x_i, קרו בוודאות.

שימו לב כי בהינתן פונקצית הסתברות משותפת, ניתן למצוא את כל פונקציות ההסתברות השוליות, אך ההפך אינו נכון: בהינתן כל פונקציות ההסתברות השוליות לא ניתן לדעת את פונקצית ההסתברות המשותפת.

תכונות

• אם הו"א $\overrightarrow{X}$ בדיד, אז גם X_i בדידים.
• $\sum _{x_1}\sum _{x_2}...\sum _{x_n}{\mathbb{P}}_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)=1$.

בצורה פשוטה יותר: אם $\overrightarrow{X}=(X_1,X_2)$ אז $\sum _i^{\mathrm{\infty }}\sum _j^{\mathrm{\infty }}{\mathbb{P}}_{X_1,X_2}(i,j)=1$.

דוגמאות

• יהי $X=(X_1,X_2)$ ו"א בדיד בעל פונקצית הסתברות $\mathbb{P}(X_1=x_1,X_2=x_2)=\frac{c}{2^{x_2}}$ בתחום $1\le x_1\le x_2<\mathrm{\infty }$, כאשר c הוא קבוע נרמול המתאים לפונקצית הסתברות. שימו לב כי פונקצית ההסתברות תלויה רק במ"מ X₂. אז:

• פונקצית ההסתברות השולית של X₁ היא:

${\mathbb{P}}_{X_1}(x_1)=\sum _{x_1\le x_2}\frac{c}{2^{x_2}}=\frac{c}{2^{x_1-1}}$

• פונקצית ההסתברות השולית של X₂ היא:

${\mathbb{P}}_{X_2}(x_2)=\sum _{x_1=1}^{x_2}\frac{c}{2^{x_2}}=\frac{c}{2^{x_2}}{x}_2$

וקטור אקראי רציף

במקרה הרציף, פונקצית ההתפלגות מקבלת את הצורה:

$F_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_1}{\int }}...\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_n}{\int }}{f}_{X_1,...,X_n}({\xi }_1,...,{\xi }_n)d{\xi }_n...d{\xi }_1$

אם כן, פונקצית הצפיפות המשותפת תתקבל על ידי:

$f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)=\frac{{\partial }^n{F}_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)}{\partial x_1...\partial x_n}$

אם נגזור לפי x₁ נקבל את פונקצית הצפיפות השולית: תבנית:מבנה תבנית

דוגמאות

• צפיפות אחידה בו"א דו מימדי:

$f_{X,Y}(x,y)=\{\begin{array}{cc}c,& x^2+y^2<1\\ 0,& x^2+y^2>1\end{array}\Rightarrow 1=\underset{x^2+y^2<1}{\iint }cdxdy=c\pi \Rightarrow c=\frac{1}{\pi }$

מהי אם כן, ההסתברות שהוקטור ימצא בשטח $A=\{(x,y)|x^2+y^2<r_0^2,0\le r_0\le 1\}$?

$\mathbb{P}(\{x,y\}\in A)=\underset{A}{\iint }\frac{1}{\pi }dxdy=r_0^2$

כך למשל, הסיכוי להמצא בעיגול בעל רדיוס 0.5 הוא 0.25.

נחשב כעת את פונקצית הצפיפות השולית של X:

$f_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{X,Y}(x,y)dy=\{\begin{array}{cc}\underset{-\sqrt{1-x^2}}{\overset{\sqrt{1-x^2}}{\int }}\frac{1}{\pi }dy=\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi },& |x|\le 1\\ 0,& |x|\ge 1\end{array}$

עבור פונקצית הצפיפות השולית של Y נקבל תושבה דומה.

כללית: אם D הוא תחום ב- ${ℝ}^n$ בעל נפח V, ופונקצית הצפיפות האחידה ב-D היא:

$f_{X_1,...X_n}(x_1,...,x_n)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{V},& \{x_1,...,x_n\}\in D\\ 0,& \{x_1,...,x_n\}\in ̸D\end{array}$

אז: $\mathbb{P}(\{x_1,...,x_n\}\in A)=\frac{|A\cap D|}{|V|}$.