מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הגדרת המספרים המרוכבים

מה הוא מספר מדומה?

קיימות משוואות שלהן אין פתרון באמצעות המספרים הממשיים על כן "המציאו" מספר מדומה בכדי לפתור אותן. דוגמה בולטת למשוואה כזו היא $x^2+1=0$

אחרי העברת אגפים והוצאת שורש נקבל $x=\sqrt{-1}$. בקבוצת המספרים הממשיים אין שורש למספר $-1$ כי העלאה בריבוע של כל מספר ממשי יוצרת תמיד מספר אי-שלילי. הסימון לפתרון משוואה מהסוג $x=\sqrt{-1}$ הוא $i=\sqrt{-1}$

חזקות של i

הגדרנו את $i$ על-ידי כך ש- $i^2=-1$ .

מהגדרה זו ניתן לקבל חזקות נוספות של $i$ :

$i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i$

$i^4=i^3\cdot i=-i\cdot i=-i^2=-(-1)=1$

$i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i$

$i^6=i^5\cdot i=i\cdot i=i^2=-1$

מחזוריות של ארבע - קיבלנו שקיימת מחזוריות בחזקות של $i$ לאחר כל ארבע העלאות בחזקה אנחנו חוזרים למספר עצמו.

ניתן להוכיח זאת כך: אם $i^n=x$ אז $i^{4+n}=i^4\cdot i^n=1\cdot x=x$.

בנוסף נזכיר כי על פי כללי חזקות $i^0=1$ וכן $i^{-n}=\frac{1}{i^n}$ .

הגדרות

• מספר מדומה - כל מספר שצורתו $bi$ כאשר $b$ מספר ממשי ו-$i$ מקיים $i^2=-1$.
• מספר מרוכב - מספר המורכב ממספרים ממשים וממספרים מדומים והצגתו האלגברית או הקרטזית היא מהצורה $a+bi$ כאשר $a,b\in R$ כלומר $a,b$ שייכים למספרים הממשים.
  • המספר הממשי $a$ של המספר המרוכב מסומן $a=\text{Re}(z)$ כאשר ה- $\text{Re}$ הוא קיצור של המילה האנגלית Real - "ממשי".
  • המספר המדומה $b$ של המספר המרוכב מסומן $b=\text{Im}(z)$ כאשר ה- $\text{Im}$ הוא קיצור של המילה האנגלית Imaginary (מדומה).

כל המספרים הממשים הם מרוכבים מפני שניתן לייצג אותם עם החלק המדומה של מספר מרוכב הוא $0$ , המספר הוא מהצורה $a+0\cdot i$ כאשר $a$ הוא מספר ממשי.

חשוב לזכור: השדה של מספרים מרוכבים אינו סדור דהינו איננו יכולים לסדר את המספרים בסדר עולה על הצירים מפני שאיננו יודעים את מיקומו של $i$ על מערכת הצירים, האם נמצא בציר המספרים החיובים? או השלילים? או אולי שווה לאפס?