הסתברות/התפלגויות וקטוריות

התפלגות ריילי

אם במשולש ישר זווית שני הניצב הם מ"מ גאוסים תקניים אז R הוא היתר.

יהיו $X,Y\sim N(0,1)$ מ"מ בלתי תלויים. נחשב את ההתפלגות של $R=\sqrt{X^2+Y^2}$:

$\mathbb{P}(R\le r)=\underset{X^2+Y^2\le r^2}{\iint }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}dxdy=$

$\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{r}{\int }}{e}^{-\frac{{\rho }^2}{2}}\rho d\rho d\theta =1-e^{-\frac{r^2}{2}}$

את פונקציית הצפיפות ניתן לקבל על ידי גזירה.

דוגמה

(להשלים)

סכום מ"מ כקונבולוציה

נניח כי נתונים שני מ"מ X₁, X₂ בלתי תלויים ואנו מעוניינים למצוא את פונקצית הצפיפות של הסכום. נחשב את פונקצית ההתפלגות שלהם (אינטגרל על $A=x_1+x_2\le x$):

$F_X(x)=\mathbb{P}(X_1+X_2\le x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x-x_1}{\int }}{f}_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)d{x}_{2}d{x}_1$

על מנת לקבל את פונקצית הצפיפות נגזור את הביטוי שהתקבל:

$f_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x-x_1)d{x}_1$

קיבלנו, אם כן, כי הצפיפות היא קונבולוציה של הצפיפויות. לסיכום: תבנית:משפט

דוגמה: מ"מ בדיד

נחשב סכום עבור המשתנים $X_1\sim Pois({\lambda }_1),X_2\sim Pois({\lambda }_2)$:

$\mathbb{P}(X_1+X_2=n)=\sum _{i=0}^n\mathbb{P}(X_1=i)\mathbb{P}(X_2=n-i)=\sum _{i=o}^n{e}^{-{\lambda }_1}\frac{{\lambda }_1^i}{i!}{e}^{-{\lambda }_2}\frac{{\lambda }_2^{n-i}}{(n-i)!}=$

$=e^{-{\lambda }_1-{\lambda }_2}\sum _{i=0}^n\frac{n!}{i!(n-i)!}\frac{{\lambda }_1^i{\lambda }_2^{n-i}}{n!}=e^{-{\lambda }_1-{\lambda }_2}\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\frac{{\lambda }_1^i{\lambda }_2^{n-i}}{n!}=e^{-{\lambda }_1-{\lambda }_2}\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^n}{n!}\sim Pois({\lambda }_1+{\lambda }_2)$

לסיכום:

בדומה,

דוגמה: מ"מ רציף

נחשב סכום עבור המשתנים $X_1\sim Exp({\lambda }_1),X_2\sim Exp({\lambda }_2)$:

$\mathbb{P}(X_1+X_2=x)=f_{X_1+X_2}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\lambda }_1{e}^{-{\lambda }_1{x}_1}{\lambda }_2{e}^{-{\lambda }_2(x-x_1)}d{x}_1={\lambda }_1{\lambda }_2\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{x_1({\lambda }_2-{\lambda }_1)-{\lambda }_{2}x}d{x}_1=$

$=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}(e^{-{\lambda }_{1}x}-e^{-{\lambda }_{2}x})$

כפי שניתן לראות, התוצאה היא מעין מיצוע של שתי הצפיפויות המקוריות.

אם לעומת זאת נגדיר: $X_1,X_2\sim Exp(\lambda )$ אז נקבל:

$f_{X_1+X_2}(x)={\lambda }^{2}x{e}^{-\lambda x}\sim Gamma(2,\lambda )$

זהו פילוג גאמה עם r=2, אשר עליו נלמד בהמשך.

התפלגות גאמה

סכום של r מ"מ מעריכיים אשר כל אחד מהם בעלי פרמטר λ,
כלומר: $X=X_1+...+X_r,X_i\sim exp(\lambda )$.
.

תכונות

• $\mathrm{\Gamma }(1,\lambda )=Exp(\lambda )$
• קונבולוציה: $\mathrm{\Gamma }(r+s,\lambda )=\mathrm{\Gamma }(r,\lambda )*\mathrm{\Gamma }(s,\lambda )$.