הסתברות/תוחלת ומומנטים/תוחלת

תוחלת משמעה ממוצע, או ליתר דיוק מרכז הכובד (ולא: מרכז השטח או מרכז הנפח, כי הממוצע משוקלל לפי "צפיפות" ה"מסה"). התוחלת מגדירה את הממוצע במקרה שהיינו חוזרים על הניסוי אינסוף פעמים. לדוגמא בהטלת קוביה פעם אחת הממוצע יהיה אחת מהאפשרויות {1,2,3,4,5,6} אבל התוחלת היא 3.5 שזה יהיה הממוצע בהטלת אינסוף קוביות.

תוחלת של משתנה מקרי בדיד

כלומר התוחלת היא ממוצע הערכים שמקבל המ"מ, כאשר הוא משוקלל לפי ההסתברות של כל תוצאה אפשרית.

דוגמאות

• מ"מ גאומטרי: $X\sim Geom(p)$

$𝔼X=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}p{q}^{n-1}n=p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{q}^{n-1}=p\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n\right)=p\left(\frac{1}{1-q}\right)=p\frac{1}{(1-q{)}^2}=\frac{1}{p}$

• מ"מ בינומי: $Y\sim Bin(n,p)$

$𝔼Y=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}k=p\left(\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}\right)=p((p+q{)}^n{)}^{\prime }=np(p+q{)}^{n-1}=np$

• מ"מ פואסוני: $Z\sim Pois(\lambda )$

$𝔼Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^n}{n!}n=e^{-\lambda }\lambda \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{n-1}}{(n-1)!}=e^{-\lambda }\lambda e^{\lambda }=\lambda$

תוחלת של משתנה מקרי רציף

דוגמאות

• מ"מ אחיד: $X\sim U[a,b]$

$𝔼X=\underset{a}{\overset{b}{\int }}x\frac{1}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}$

• מ"מ מעריכי: $Y\sim Exp(\lambda )$

$𝔼Y=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }$

• מ"מ גאוסי תקני: $Z\sim N(0,1)$

$𝔼Z=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=0$ - בעקבות הסימטריות סביב 0. בדומה, התוחלת של גאוסי כללי הינה μ.

• מ"מ W בעל פונקית צפיפות סימטרית סביב a:

$𝔼W=a$

תוחלת של משתנה מקרי מעורב

דוגמאות

(להשלים)

תוחלת של משתנה מקרי מורכב

הוכחה

(להשלים)

דוגמאות

(להשלים)

תכונות

• אם X מ"מ בדיד אשר מקבל את הערך x₀ בהסתברות 1, אז $𝔼X=x_0$, ומשתנה זה נקרא משתנה מנוון.
• לינאריות התוחלת: עבור קבוע a ופונקציות h,g מתקיים

• $𝔼(aX)=a𝔼X$.
• $𝔼(X+a)=𝔼X+𝔼a=𝔼X+a$
• $𝔼[g(X)+h(X)]=𝔼g(X)+𝔼h(X)$

• $X\le Y\Rightarrow 𝔼X\le 𝔼Y$
• חישוב תוחלת ישירות מפונקצית ההתפלגות, ללא שימוש בפונקצית הצפיפות:

$𝔼X=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[1-F_X(x)]dx-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{F}_X(x)dx$

• ועבור מ"מ חיובי:

$𝔼X=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[1-F_X(x)]dx$

נוסחה זו שימושית במיוחד עבור התפלגויות מעורבות, בכך שהיא חוסכת את פירוק פונקצית הצפיפות לפונקציה בדידה ולפונקציה רציפה.

• יהי X מ"מ בעל פונקצית צפיפות f_X ופונקצית התפלגות F_X, אז $𝔼F_X(x)=\frac{1}{2}$.
• תוחלת מותנית:

• $𝔼(X|X=x_0)=x_0$
• $𝔼[g(X)h(Y)|X=x_0]=g(x_0)𝔼[h(Y)|X=x_0]$