הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/אריתמטיקה של גבולות סופיים

גבול של סכום סדרות

משפט

תהיינה ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}, {b_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרות המקיימות $\lim_{n \to \infty} a_{n} = A, \lim_{n \to \infty} b_{n} = B$ כשהגבולות סופיים.

אזי $\lim_{n \to \infty} [a_{n} \pm b_{n}] = \lim_{n \to \infty} a_{n} \pm \lim_{n \to \infty} b_{n} = A \pm B$ .

הוכחה

עלינו להוכיח כי לכל $ε > 0$ קיים $k \in ℕ$ כך שלכל $n > k$ מתקיים $| (a_{n} \pm b_{n}) - (A \pm B) | < ε$ .

קיים $k_{1} \in ℕ$ כך שלכל $n > k_{1}$ מתקיים $| a_{n} - A | < \frac{ε}{2}$ .

קיים $k_{2} \in ℕ$ כך שלכל $n > k_{2}$ מתקיים $| b_{n} - B | < \frac{ε}{2}$ .

נסמן $k = \max {k_{1}, k_{2}}$ . כעת לכל $n > k$ מתקיים לפי אי־שוויון המשולש:

| (a_{n} \pm b_{n}) - (A \pm B) | = | a_{n} - A \pm b_{n} \mp B | \leq | a_{n} - A | + | b_{n} - B | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

$◼$

הערות להוכחה:

בהוכחה זו, הכל היה נתון לנו בצורה מתמטית. פעמים רבות ניתקל בהוכחות המנוסחות בצורה מילולית, ויהא עלינו לכתוב אותן בצורה מתמטית.
הערה נוספת בהקשר זה: כשכל הנתונים מוצגים בצורה מתמטית, עלינו לוודא שאנו מבינים היטב את משמעותם. למשל, במקרה זה כתוב בעצם

"נתונות הסדרות

{a_{n}}_{n = 1}^{\infty}, {b_{n}}_{n = 1}^{\infty}

המתכנסות לגבולות

A, B

בהתאמה". חשוב להבין את הנתון גם מבחינה רעיונית.

גבול של מכפלת סדרות

משפט

תהיינה ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}, {b_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרות המקיימות $\lim_{n \to \infty} a_{n} = A, \lim_{n \to \infty} b_{n} = B$ כשהגבולות סופיים.

אזי $\lim_{n \to \infty} [a_{n} \cdot b_{n}] = \lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot \lim_{n \to \infty} b_{n} = A \cdot B$

הוכחה

יהי $ε > 0$ . עלינו להוכיח כי לכל $ε > 0$ קיים $k \in ℕ$ כך שלכל $n > k$ מתקיים $| a_{n} \cdot b_{n} - A \cdot B | < ε$ .

\begin{matrix} | a_{n} \cdot b_{n} - A \cdot B | = | a_{n} \cdot b_{n} - A \cdot b_{n} + A \cdot b_{n} - A \cdot B | = | b_{n} (a_{n} - A) + A (b_{n} - B) | \\ \leq | b_{n} (a_{n} - A) | + | A (b_{n} - B) | = | b_{n} | \cdot | a_{n} - A | + | A | \cdot | b_{n} - B | \end{matrix}

${b_{n}}$ מתכנסת ולכן חסומה, לכן קיים $M > 0$ כלשהו כך שלכל $n$ מתקיימים בו זמנית המקרים $| b_{n} | < M$ וגם $| A | < M$ .

קיים $k_{1} \in ℕ$ כך שלכל $n > k_{1}$ שמתקיים $| a_{n} - A | < \frac{ε}{2 M}$ .

קיים $k_{2} \in ℕ$ כך שלכל $n > k_{2}$ שמתקיים $| b_{n} - B | < \frac{ε}{2 M}$ .

נסמן $k = \max {k_{1}, k_{2}}$ . לפיכך,

| a_{n} \cdot b_{n} - A \cdot B | \leq | b_{n} | \cdot | a_{n} - A | + | A | \cdot | b_{n} - B | < M | a_{n} - A | + M | b_{n} - B | < M \cdot \frac{ε}{2 M} + M \cdot \frac{ε}{2 M} = ε

$◼$

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/אריתמטיקה של גבולות סופיים

גבול של סכום סדרות

גבול של מכפלת סדרות

תפריט ניווט

חיפוש