הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט הראשון של ויירשטראס

משפט

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע סגור $[a,b]$ . אזי היא חסומה בקטע זה.

הוכחה באמצעות משפט בולצאנו-ויירשטראס

נניח בשלילה וללא הגבלת הכלליות כי $f$ איננה חסומה מלעיל בקטע $[a,b]$ . לפיכך, לכל $n$ קיימת נקודה $x_n\in [a,b]$ עבורה $f(x_n)>n$ .

הסדרה $x_n$ מוכלת בקטע הסגור $[a,b]$ ולכן היא חסומה בו.

על-פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לסדרה שבנינו קיימת תת־סדרה מתכנסת $x_{n_k}$ שגבולה $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_{n_k}=x_0\in [a,b]$ .

$f$ רציפה ומתקבל $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_{n_k})=f(x_0)$ .

מאידך גיסא $f(x_{n_k})\ge n_k$ , כלומר $f$ חסומה מלמטה ע"י סדרה ששואפת לאינסוף ולכן $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_{n_k})=\mathrm{\infty }$ . סתירה.

$◼$

הוכחה באמצעות משפט קנטור

על־פי משפט קנטור לרציפות במידה שווה, $f$ רציפה במידה שווה בקטע $[a,b]$ .

כלומר לכל $\epsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $x,y\in [a,b]$ המקיימים $|x-y|<\delta$ מתקיים $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ .

נחלק את הקטע $[a,b]$ ל־$n$ קטעים שווים שאורכם $\frac{b-a}{n}$ , נדרוש שאורך כל קטע הנ"ל יהיה קטן מ־$\delta$ . כלומר $\frac{b-a}{\delta }<n⟺\frac{b-a}{n}<\delta$ .

בכל קטע נבחר נקודה $x_k$ אמצע הקטע (כאשר חלוקת הקטעים היא $k=1,\dots ,n$). יהי $x\in k$ . כיון שאורך הקטע $k<\delta$ , לפי הרציפות במידה שווה נסיק כי:

מתקיים $|x-x_k|<\delta$ ולכן גם $f(x_k)-\epsilon <f(x)<f(x_k)+\epsilon ⟺|f(x)-f(x_k)|<\epsilon$ לכל $x\in k$ .

נבחר $m=\min \{f(x_1)-\epsilon ,\dots ,f(x_n)-\epsilon \},M=\max \{f(x_1)+\epsilon ,\dots ,f(x_n)+\epsilon \}$

לכן נקבל $m<f(x)<M$ לכל $x\in [a,b]$ .

$◼$