מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035007/תרגיל 6

שאלה 6 [1]

א

תחום ההגדרה כאן מושפע מגורם יחיד: אם יש לנו לוגריתם, הערך שהוא מקבל חייב להיות גדול מאפס. כלומר, אם יש לנו $\log (a)$, חייב להתקיים $a>0$.

על כן, אנו רוצים לדעת באיזה תחום ערכי $x$ הם כאלו כך שמתקיים:

• $2x^2-3x+1>0$
• ${\log }_{1/2}(2x^2-3x+1)>0$

המשוואה הראשונה היא אי שוויון סטנדרטי. כדי לפתור אותו נפתור ראשית את השוויון המתאים, ונקבל:

• $x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{4}=\frac{3\pm 1}{4}$

קיבלנו את הפתרונות $x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$

מכיוון שהמקדם של $x$ באי השוויון הוא חיובי, יש לנו פרבולה "צוחקת" ולכן התחום שבו אי השוויון מתקיים הוא $x<\frac{1}{2}$ או $x>1$.

נעבור כעת לאי השוויון השני. מכיוון שבסיס הלוגריתם קטן מ-1, הרי שערכו של הלוגריתם גדול מאפס רק עבור ערכים שהם קטנים מ-1. לכן נקבל את אי השוויון הבא:

• $2x^2-3x+1<1$

ועל ידי העברת אגפים נקבל:

$2x^2-3x<0$

גם כאן יש לנו פרבולה "צוחקת", אך יותר קל למצוא את נקודות החיתוך שלה עם ציר $x$: על ידי הוצאת גורם משותף נקבל את המשוואה

$x(2x-3)=0$

שפתרונותיה הם

$x_1=0,x_2=\frac{3}{2}$

ואלו נקודות החיתוך. כלומר, התחום שבו אי השוויון מתקיים הוא $0<x<\frac{3}{2}$.

משני התנאים שמצאנו נקבל כי תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

• $0<x<\frac{1}{2}$

וגם

• $1<x<\frac{3}{2}$

ב

כדי לפתור את המשוואה אנחנו רוצים להביא את שני הלוגריתמים לבסיס משותף שיהיה נוח לעבוד איתו. מכיוון שאחד הלוגריתמים כבר בבסיס 4, נעביר את השני לאותו בסיס באמצעות הנוסחה ${\log }_a(y)=\frac{lo{g}_b(y)}{{\log }_b(a)}$. במקרה שלנו, $a=x$ ואילו $y=64$, ואנו בוחרים $b=4$. נקבל:

• ${\log }_x(64)=\frac{{\log }_4(64)}{{\log }_4(x)}=\frac{3}{{\log }_4(x)}$

כמו כן, על פי חוקי הלוגריתמים נקבל מהאיבר הראשון בסכום:

• ${\log }_4(8x)={\log }_4(x)+{\log }_4(4)+{\log }_4(2)={\log }_4(x)+1+\frac{1}{2}={\log }_4(x)+\frac{3}{2}$

נסמן $t={\log }_4(x)$ ונקבל את המשוואה:

• $t+\frac{3}{2}+\frac{3}{t}=5$

נכפול ב-$t$, נעביר אגפים ונקבל את המשוואה:

• $t^2-\frac{7}{2}t+3=0$

ובכתיבה אחרת:

• $2t^2-7t+6=0$

נפתור את המשוואה ונקבל:

• $t_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{49-48}}{4}=\frac{7\pm 1}{4}$

קיבלנו שני פתרונות:

• $t_1=2,t_2=\frac{3}{2}$

עבור הפתרון הראשון נקבל:

• ${\log }_4(x)=2$

כלומר

• $x=4^2=16$

עבור הפתרון השני נקבל:

${\log }_4(x)=\frac{3}{2}$

כלומר:

$x=4^{3/2}=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=\pm 8$

ומכיוון ש-$x$ הוא בסיס ללוגריתם רק הפתרון החיובי תקף.

לסיכום, קיבלנו:

$x_1=8,x_2=16$