הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן ההשוואה הגבולי

משפט

יהיו $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}, \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ טורים חיוביים.

אם $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} \neq 0$ סופי אז $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס אם ורק אם $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ מתכנס.
אם $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 0$ אז מהתכנסות $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ נובעת התכנסות $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ .
אם $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \infty$ אז מהתכנסות $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ נובעת התכנסות $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ .

הוכחה (1)

מהגדרת הגבול $L$ לכל $ε > 0$ קיים $k$ כך שלכל $n > k$ מתקיים $L - ε < \frac{a_{n}}{b_{n}} < L + ε$ . נקבל כי $(L - ε) b_{n} < a_{n} < (L + ε) b_{n}$ .

אם $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס, אז לפי [[../../טורים ומבחני התכנסות/מבחן ההשוואה|מבחן ההשוואה]] $\sum_{n = 1}^{\infty} (L - ε) b_{n}$ מתכנס וזה כמובן אם ורק אם $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ מתכנס.

אם $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתבדר, אז לפי מבחן ההשוואה $\sum_{n = 1}^{\infty} (L + ε) b_{n}$ מתבדר וזה כמובן אם ורק אם $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ מתבדר.

$◼$

הוכחה (2)

מהגדרת הגבול קיים $k$ כך שלכל $n > k$ מתקיים $| \frac{a_{n}}{b_{n}} - 0 | = \frac{a_{n}}{b_{n}} < 1$ או $a_{n} < b_{n}$ . לכן לפי מבחן ההשוואה אם $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ מתכנס אז $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס.

$◼$

הוכחה (3)

מהגדרת הגבול קיים $k$ כך שלכל $n > k$ מתקיים $\frac{a_{n}}{b_{n}} > 1$ או $a_{n} > b_{n}$ . לכן לפי מבחן ההשוואה אם $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס אז $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ מתכנס.

$◼$

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן ההשוואה הגבולי

תפריט ניווט

חיפוש