הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן השורש של קושי

משפט

יהי $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ טור חיובי.

אם $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = L < 1$ הטור מתכנס.
אם $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = L > 1$ או $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = \infty$ , הטור מתבדר.

הוכחה (1)

נבחר מספר $L < q < 1$ .

קיים $k$ כך שלכל $n > k$ מתקיים $\sqrt[n]{a_{n}} < q$ או $a_{n} < q^{n}$ .

$\sum_{n = 1}^{\infty} q^{n}$ טור גאומטרי עם מנה $0 < q < 1$ ולכן לפי [[../../טורים ומבחני התכנסות/מבחן ההשוואה|מבחן ההשוואה]] $\sum_{n = k + 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס.

אזי $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס.

$◼$

הוכחה (2)

קיים $k$ כך שלכל $n > k$ מתקיים $\sqrt[n]{a_{n}} > 1$ או $a_{n} > 1$ .

מכך נובע כי $\lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0$ והטור מתבדר כיון ש[[../../טורים ומבחני התכנסות/התכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס|התכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס]].

$◼$

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן השורש של קושי

תפריט ניווט

חיפוש