הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן לייבניץ לטורים מתחלפים

משפט

תהי $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה חיובית ומונוטונית יורדת ושואפת ל־0. אזי הטור המתחלף $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n$ מתכנס.

הוכחה

נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים בעלי האינדקס הזוגי $S_{2n}$ , כאשר $S_n=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}{a}_k$ .

מהגדרת $a_n$ נקבל כי

$$\begin{array}{c}{S}_2=a_1-a_2\ge 0\\ S_4=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)\ge S_2\\ S_{2n}=S_{2n-2}+(a_{2n-1}-a_{2n})\ge S_{2n-2}\\ 0\le S_2\le S_4\le \cdots \le S_{2n}\le \cdots \\ S_{2n}=a_1-(a_2-a_3)-(a_4-a_5)-\cdots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})-a_{2n}\end{array}$$

כל אבר בסוגריים חיובי שכן $a_n$ מונוטונית יורדת, לכן $S_{2n}\le a_1$ לכל $n$ . אזי $S_{2n}$ [[../../גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/פונ' חסומה ומונוטונית מקבלת גבול באינסוף|מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ומתכנסת לגבול]] $L$ .

סדרת הסכומים החלקיים בעלי האינדקס האי־זוגי גם כן מתכנסת (על סמך נימוק דומה: היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע) אך ניתן להסיק על התכנסותה ולחשב את סכומה ישירות בעזרת אריתמטיקה של גבולות.

מצאנו כי $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n}=L$ וידוע כי $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ , אזי:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S_{2n}+a_{2n+1})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{2n+1}=L+0=L$$

לפיכך, גם סדרת הסכומים החלקיים בעלי האינדקס הזוגי וגם סדרת הסכומים החלקיים בעלי האינדקס האי־זוגי מתכנסות ולאותו הגבול $L$ .

[[../../גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/הקשר בין התכנסות סדרה ותת-הסדרות שלה|התפצלות סדרה למספר סופי של תת־סדרות אשר כולן מתכנסות לאותו הגבול גוררת את התכנסות הסדרה לגבול זה]], לכן $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=L$ ועל כן הטור מתכנס.

$◼$