הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/קריטריון קושי לטורים

משפט

הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתכנס אם ורק אם לכל $\epsilon >0$ קיים $k$ כך שלכל $n\ge m>k$ מתקיים $\left|\sum _{p=m}^n{a}_p\right|<\epsilon$ .

הוכחה (1)

נניח כי $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתכנס. אזי סדרת הסכומים החלקיים $S_n$ מתכנסת, לכן לפי [[../../גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/סדרה מתכנסת אמ"מ היא סדרת קושי|קריטריון קושי לסדרות]] לכל $\epsilon >0$ קיים $k$ כך שלכל $n\ge m>k$ מתקיים

$|S_n-S_m|=|\sum _{p=1}^n{a}_p-\sum _{p=k}^n{a}_p|=\left|\sum _{p=m}^n{a}_p\right|<\epsilon$

$◼$

הוכחה (2)

נניח כי לכל $\epsilon >0$ קיים $k$ כך שלכל $n\ge m>k$ מתקיים $\left|\sum _{p=m}^n{a}_p\right|=|S_n-S_m|<\epsilon$ , כאשר $S_n$ סדרת הסכומים החלקיים של הטור.

לפי קריטריון קושי לסדרות נקבל כי $S_n$ מתכנסת, אזי הטור מתכנס.

$◼$