הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/הלמה של קנטור

משפט

תהיינה $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},\{b_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ שתי סדרות עבורן $a_n\le a_{n+1}<b_{n+1}\le b_n$ . אם מתקיים $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[b_n-a_n]=0$ אזי שתי הסדרות מתכנסות ומתקיים $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$ .

ניסוח שקול:

תהי $\left\{\right[a_n,b_n]{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרת קטעים סגורים, כך שמתקיים $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]$ . אם מתקיים $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[b_n-a_n]=0$ אז קיימת נקודה יחידה המשותפת לכל הקטעים.

הוכחה

נוכיח בניסוח הסדרתי.

$a_n$ סדרה מונוטונית עולה ולכן חסומה מלרע ע"י $a_1$ . בכל אופן יש להוכיח כי הסדרה חסומה מלעיל על־ידי כל שאר אברי $b_n$ (לפי הקשר בין הסדרות).

$b_n$ סדרה מונוטונית יורדת ולכן חסומה מלעיל ע"י $b_1$ . בכל אופן יש להוכיח כי הסדרה חסומה מלרע על־ידי כל שאר אברי $a_n$ (לפי הקשר בין הסדרות).

אזי שתי הסדרות הן מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. ניתן להשתמש באריתמטיקה של גבולות באופן הבא: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[b_n-a_n]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$$ לכן $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$ .

$◼$