הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נגזרת של מנת פונקציות

משפט

אם $f,g$ גזירות ומתקיים $g^{\prime }\ne 0$ , אזי $\frac{f}{g}$ גזירה ומתקיים $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}$ .

הוכחה ישירות מהגדרת הנגזרת

$$\begin{array}{cc}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h}}{g(x)g(x+h)}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x)}{h}}{g(x)g(x+h)}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x)\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x)g(x+h)}\\ & =\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}[g(x)\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}]}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}g(x)g(x+h)}\\ & =\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}g(x)\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}f(x)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}g(x)g(x+h)}\\ & =\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}g(x)\cdot \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}f(x)\cdot \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}g(x)\cdot \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}g(x+h)}\\ & =\frac{g(x)\cdot \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x)\cdot \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x{)}^2}\\ & =\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}\end{array}$$

$◼$

הוכחה דרך [[../../גזירות/נגזרת של מכפלת פונקציות|נגזרת של מכפלת פונקציות]]

נגדיר $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ ומכאן $f(x)=g(x)h(x)$ . נשתמש בכלל למכפלת נגזרות ונקבל:

$$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)h(x)+g(x)h^{\prime }(x)\\ h^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)h(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\cdot \frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}\end{array}$$

$◼$