הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט רול

משפט

אם $f$ רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ וגזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ ומתקיים $f(a)=f(b)$ , אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $f^{\prime }(c)=0$ .

הוכחה

נחלק לשלושה מקרים:

• $f$ פונקציה קבועה – במקרה זה $f^{\prime }(c)=0$ לכל $c\in (a,b)$ .
• $f(x)>f(a)$ עבור $x\in (a,b)$ כלשהו. מהנחת הרציפות על־פי [[../../גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט השני של ויירשטראס|המשפט השני של ויירשטראס]] $f$ מקבלת בקטע הסגור מקסימום.

$f(a)=f(b)$ ולכן מקסימום זה בנקודה פנימית $c\in (a,b)$ . מהנחת הגזירות נובע מ[[../../גזירות/משפט פרמה|משפט פרמה]] כי $f^{\prime }(c)=0$ .

• עבור $f(x)<f(a)$ ההוכחה זהה למקרה הקודם. רק יש להחליף במילה "מינימום".

$◼$