הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט דארבו

משפט

תהי $f$ רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ , גזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ , גזירה מימין ב־$a$ וגזירה משמאל ב־$b$ .

יהי $y$ עבורו $f^{\prime }(a^{+})<y<f^{\prime }(b^{-})$ או $f^{\prime }(a^{+})>y>f^{\prime }(b^{-})$ .

אזי קיים $c\in [a,b]$ עבורו $f^{\prime }(c)=y$ .

במילים אחרות: תחת תנאי המשפט, $f^{\prime }$ מקיימת את משפט ערך הביניים, מבלי שכלל תצטרך להיות רציפה בקטע.

הוכחה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי $f^{\prime }(a^{+})<y<f^{\prime }(b^{-})$ .

נגדיר פונקציה $g(x)=f(x)-yx$ . זו גזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ ובעלת נגזרות חד־צדדיות בקצות הקטע כ[[../../גזירות/נגזרת של סכום והפרש פונקציות|הפרש פונקציות גזירות]] בקטע וחד־צדדית בקצותיו.

נגזרתה היא $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-y$ והיא מקיימת $g^{\prime }(a^{+})<0<g^{\prime }(b^{-})$ כי:

$\begin{array}{c}{g}^{\prime }(a^{+})=f^{\prime }(a^{+})-y<0\\ g^{\prime }(b^{-})=f^{\prime }(b^{-})-y>0\end{array}$

$g$ רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ כ[[../../גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/אריתמטיקה והרכבה של פונקציות רציפות#סכום והפרש של פונקציות רציפות|הפרש פונקציות רציפות]]. לפיכך, על־פי [[../../גבולות, סדרות ורציפות/רציפות#המשפט השני של ויירשטראס|המשפט השני של ויירשטראס]] היא מקבלת מינימום בקטע זה.

• מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה $a$ כי $g^{\prime }(a^{+})<0$ ולכן $g$ יורדת מקומית שם.
• מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה $b$ כי $g^{\prime }(b^{-})>0$ ולכן $g$ עולה מקומית שם.

לפיכך, המינימום חייב להתקבל בנקודה $c\in (a,b)$ .

מ[[../../גזירות/משפט פרמה|משפט פרמה]] נובע כי $g^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-y=0$ . לכן $f^{\prime }(c)=y$ .

$◼$