הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/שקילות הגדרות הגבול

משפט

הטענות הבאות שקולות:

1. $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ .
2. לכל $\epsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$ .
3. לכל סדרה $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ המקיימת $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$ ו־$x_n\ne a$ לכל $n$ , מתקיים $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=L$ .

הוכחה

$2⟺1$ מכיון שטענה 2 היא פשוט הגדרת הגבול (לפי קושי). לכן, עלינו להוכיח את השקילות בין הגדרות הגבול של קושי ושל היינה, כלומר $3⟺2$ .

נוכיח $3\Leftarrow 2$ .

תהי $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה המקיימת $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$ ו־$x_n\ne a$ לכל $n$ .

יהי $\epsilon >0$ . קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$ . מהגדרת הגבול קיים $k\in \mathbb{N}$ כך שלכל $n>k$ מתקיים $|x_n-a|<\delta$ .

מאחר ו־$x_n\ne a$ לכל $n$ מתקיים $0<|x_n-a|<\delta$ . אזי עבור $k$ זה ועבור $x=x_n$ נקבל כי $|f(x)-L|<\epsilon$ , כלומר $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=L$ .

$◼$

נוכיח $1\Leftarrow 3$ .

נניח כי לכל סדרה $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ המקיימת $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$ ו־$x_n\ne a$ לכל $n$ , מתקיים $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=L$ ונוכיח כי $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ .

נניח בשלילה כי $\underset{x\to a}{\lim }f(x)\ne L$ . לכן לפי טענה 2 (היא שקולה לטענה 1), קיים $\epsilon >0$ כך שלכל $\delta >0$ קיים $x$ המקיים $0<|x-a|<\delta$ עבורו $|f(x)-L|\ge \epsilon$ .

בפרט, לכל $n$ קיים $x_n$ המקיים $|x_n-a|<\frac{1}{n}$ עבורו $|f(x_n)-L|\ge \epsilon$ . אזי $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)\ne L$ וזוהי סתירה להנחה שלנו. לכן $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ .

$◼$

אזי $1\Leftarrow 3\Leftarrow 2\Leftarrow 1$ , והטענות הן שקולות.