הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מכפלה בקבוע

משפט

אם $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ אזי $\underset{x\to a}{\lim }c\cdot f(x)=c\cdot L$ כאשר $c\in ℝ$ .

הוכחה

יהי $\epsilon >0$ .

אם $c=0$ הטענה מיידית: $|0\cdot f(x)-0\cdot L|=0<\epsilon$

אם $c\ne 0$ נראה שקיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $|c\cdot f(x)-c\cdot L|<\epsilon$ .

מהגדרת הגבול קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $|f(x)-L|<\frac{\epsilon }{|c|}$ .

$$|c\cdot f(x)-c\cdot L|=|c|\cdot |f(x)-L|<|c|\cdot \frac{\epsilon }{|c|}=\epsilon$$

$◼$