הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/כלל הסנדוויץ'

משפט

אם הפונקציות $f(x),g(x),h(x)$ מקיימות את שני התנאים הבאים:

• $f(x)\le h(x)\le g(x)$ בסביבה מנוקבת של $a$
• $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)=L$

אזי $\underset{x\to a}{\lim }h(x)=L$ .

הוכחה

יהי $\epsilon >0$ .

קיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_1$ מתקיים $f(x)\le h(x)\le g(x)$ .

קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_2$ מתקיים $L-\epsilon <f(x)<L+\epsilon$ .

קיים ${\delta }_3>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_3$ מתקיים $L-\epsilon <g(x)<L+\epsilon$ .

נבחר $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3\}$ . לפיכך,

$$\begin{array}{c}L-\epsilon <f(x)\le h(x)\le g(x)<L+\epsilon \\ \\ L-\epsilon <h(x)<L+\epsilon \end{array}$$

לכן $\underset{x\to a}{\lim }h(x)=L$ .

$◼$