הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/סכום אינסופי

משפט

אם $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L,\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$ אז $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)+g(x)]=\mathrm{\infty }$ .

הוכחה

יש להראות כי לכל $M$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)+g(x)>M$ .

$f(x)$ חסומה וקיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_1$ מתקיים $|f(x)|<A$ עבור $A>0$ כלשהו, אזי $f(x)>-A$ .

לכל $K$ קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_2$ מתקיים $g(x)>K$ .

נבחר $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$ . לפיכך,

$$f(x)+g(x)>-A+K=M$$

$◼$