הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/הופכי לגבול אינסופי

משפט

אם $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$ אז $\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{|f(x)|}=\mathrm{\infty }$ .

הוכחה

מספיק להראות כי לכל $M>0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $\frac{1}{|f(x)|}>M$ .

מהגדרת הגבול קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $|f(x)|<\frac{1}{M}$ , כלומר $\frac{1}{|f(x)|}>M$ .

$◼$