תורת הבקרה/התמרת לפלס

כללית, התמרת לפלס היא התמרה אינטגרלית לינארית אשר הופכת נגזרת למכפלה ואינטגרציה לחלוקה, וכל התמרה היא מצורה של מנת פולינומים מוכלליםתבנית:הערה.

כאשר מבצעים התמרת לפלס על מישור הזמן (במשתנה $t$) עוברים למה שנקרא "מישור התדר" (במשתנה $s$) אשר נקרא גם "מישור לפלס". נהוג לכתוב פונקציות במישור הזמן באות קטנה ופונקציות במישור התדר באות גדולה.

שימוש בתורת הבקרה

כל משוואות התנועה, בהתאם לחוק השני של ניוטון $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ , הן למעשה משוואת דיפרנציאליות המקשרות בין מיקום, מהירות ותאוצה. בעזרת התמרת לפלס ניתן להתמיר משוואה דיפרנציאליות למשואה אלגברית (פולינומים). אופיה של ההתמרה, הפיכת נגזרת למכפלה, מקלה על ההסתכלות במערכות כאלו.

עם זאת, בפרק משתני מצב, נבצע אנליזה דוקא במישור הזמן. שם נפרק משוואה דיפרנציאלית מסדר גבוה למערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. מפירוק זה מתקבלות מטריצות של מקדמים אשר לפיהן ניתן לקבוע יציבות, בקירות וצפיות, ללא צורך בהתמרות כלשהן.

הגדרה

$F(s)=ℒ\{f(t)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

התמרת לפלס הפוכה

$f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi j}\underset{c-j\mathrm{\infty }}{\overset{c+j\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{st}F(s)ds$

כאשר $t>0,c>c_0$ ו-$c_0$ הוא הסדר המעריכי של $f$ .

דוגמאות

(להשלים)

שיטות למציאת התמרת לפלס הפוכה

חישוב ההתמרה הפוכה בדרך ישירה הינה מייגעת ולכן ניעזר במספר שיטות. תמיד נרצה להביא את הפונקציה למצב מוכר עבורו ניתן למצוא ישירות את ההתמרה ההפוכה באמצעות טבלאות (ראו בויקיפדיה).

קטבים בודדים

כאשר F היא מנת פולינומים מצומצמים עם קטבים בודדים (ממשיים או מרוכבים), נפרק את F לשברים חלקיים:

$F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{r_1}{s-p_1}+\frac{r_2}{s-p_2}+...+\frac{r_n}{s-p_n}$

כאשר $r_i,p_j$ הם הקטבים והשאריות, בהתאמה. מתקבל:

$f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}=u(t)\cdot \sum _{k=1}^n{r}_k{e}^{p_{k}t}$

כאשר u היא פונקצית מדרגה. מתכונות הפונקציות המרוכבות ניתן להראות:

$r_k=\frac{B(p_k)}{A^{\prime }(s){|}_{s=p_k}}$

זכרו כי נוסחה זו נכונה לקטבים בודדים בלבד!

קטבים מרוכבים צמודים

במקרה זה, יופיע עבור כל זוג קטבים כאלה ביטוי מהצורה:

$F_k(s)=\frac{r_k}{s-p_k}+\frac{r_{k+1}}{s-p_{k+1}}$

כאשר F_k הוא פרקציה של הפונקציה F. נניח כי:

$r_{k,k+1}=a\pm jb,p_{k,k+1}=\alpha \pm j\beta$

אז מתקבל:

$f_k(t)=r_k{e}^{p_{k}t}+r_{k+1}{e}^{p_{k+1}t}=2|r_k|e^{\alpha t}\cos (\beta t+\arg (r_k))$

כאשר השיוויון האחרון נובע מתכונות המספרים המרוכבים.

קוטב מסדר n

במקרה זה, מפרקים לשברים חלקיים:

$F_k(s)=\frac{B_k(s)}{(s-p_k{)}^n}=\frac{r_{k_1}}{s-p_k}+\frac{r_{k_2}}{(s-p_k{)}^2}+...+\frac{r_{k_n}}{(s-p_k{)}^n}$

כאשר F_k הוא פרקציה של הפונקציה F, ו-B_k היא פרקציה של הפונקציה B.

מכאן מבצעים את התמרת לפלס הפוכה באמצעות טבלאות.

מטלאב

פתרון בMATLAB מתבצע באמצעות הפונקציה residue אשר יש להעביר לה את וקטור המקדמים של המונה ושל המכנה, והיא מחזירה שלושה וקטורים: השאריות, הקטביים והשלם במנת הפולינומים (אשר יהיה אפס כאשר מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה). תבנית:קלט פלט

מייפל

פירוק לשברים חלקיים: תבנית:קלט פלט

משפט הערך ההתחלתי

אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות $f(t),f^{\prime }(t)$ אז מתקיים:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to 0^{+}}f(t)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{s\to \mathrm{\infty }}sF(s)$

משפט זה נוח במיוחד כאשר מעוניינים בערך התחילי של הפונקציה במישור הזמן, כי אינו מחייב חישוב התמרת הלפלס ההפוכה של F.

משפט הערך הסופי

אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות $f(t),f^{\prime }(t)$ וכל הקטבים של F נמצאים בחצי המישור השמאלי, ולכל היותר ישנו קוטב בודד בראשית, אז מתקיים:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}f(t)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{s\to 0}sF(s)$

משפט זה שימושי כאשר מעוניינים בהתנהגות המערכת לאחר ריסון תנאי ההתחלה.