תורת הבקרה/עקום בודה

עקומי בודה הם דרך נוחה להסתכלות על תגובת האמפליטודה ותגובת התדר של מערכת. באמצעות שימוש בתכונות הלוגריתם מפרקים את פונקצית התמסורת לסכומים והפרשים כך שניתן לצייר את התוצאה ללא קושי. בסופו של התהליך מתקבלים שני גרפים, האחד עבור הגבר המערכת והשני עבור הפאזה, כאשר שניהם תלויים בתדירות הכניסה אשר משורטטת על ציר לוגריתמי. דיאגרמת בודה (או "עקומי בודה") היא קירוב של הערכים האמיתיים. את הסטייה ניתן לחשב בנקודות אסטרטגיות. עקומי בודה נקראים "אסימפטוטיים" היות והם מייצגים ערכים אליהם שואפת התנהגותה האמיתית של המערכת. שרטוט העקומים המדוייקים ("אמיתיים") בהנתן פונקציית התמסורת המתארת את המערכת, דורש שימוש בתוכנית מחשב.

פיתוח מתמטי

נניח כי נתונה פונקצית תמסורת מהצורה:

$G(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{s^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+...+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+...+a_0}$

על מנת לשרטט עקום בודה, יש להמיר את המבנה לצורת בודה:

$G(s)=K_0\frac{({{\tau }_1}^{\prime }s+1)({{\tau }_2}^{\prime }s+1)\cdots ({{\tau }_m}^{\prime }s+1)}{({\tau }_{1}s+1)({\tau }_{2}s+1)\cdots ({\tau }_{n}s+1)}$

שימו לב כי מתקיים: $K_0=\frac{b_0}{a_0}$. אנו מעוניינים בתגובת התדר ולכן נציב s=jω:

$G(j\omega )=K_0\frac{({{\tau }_1}^{\prime }j\omega +1)({{\tau }_2}^{\prime }j\omega +1)\cdots ({{\tau }_m}^{\prime }j\omega +1)}{({\tau }_{1}j\omega +1)({\tau }_{2}j\omega +1)\cdots ({\tau }_{n}j\omega +1)}$

מתכונות המספרים המרוכבים נקבל:

$k(\omega )=|G(j\omega )|=K_0\frac{\sqrt{({{\tau }_1}^{\prime }\omega {)}^2+1}\sqrt{({{\tau }_2}^{\prime }\omega {)}^2+1}\cdots \sqrt{({{\tau }_m}^{\prime }\omega {)}^2+1}}{\sqrt{({\tau }_1\omega {)}^2+1}\sqrt{({\tau }_2\omega {)}^2+1}\cdots \sqrt{({\tau }_n\omega {)}^2+1}}$

$\begin{array}{cc}\varphi (\omega )& =\arg G(j\omega )={\tan }^{-1}({{\tau }_1}^{\prime }\omega )+{\tan }^{-1}({{\tau }_2}^{\prime }\omega )+\cdots \\ & +{\tan }^{-1}({{\tau }_m}^{\prime }\omega )-[{\tan }^{-1}({\tau }_1\omega )+{\tan }^{-1}({\tau }_2\omega )+\cdots +{\tan }^{-1}({\tau }_n\omega )]\\ \end{array}$

כאשר נעבור לסקלה לוגריתמית כל המכפלות והחלוקות יהפכו לחיבורים ולחיסורים, ואז נוכל לצייר תרומה של כל איבר בנפרד על הגרף, ולבסוף לסכם. לשם כך נגדיר:

$k_{dB}(\omega )\stackrel{\mathrm{△}}{=}20{\log }_{10}k(\omega )$

ואז:

$\begin{array}{cc}{k}_{dB}(\omega )& =20[{\log }_{10}{K}_0+{\log }_{10}\sqrt{({{\tau }_1}^{\prime }\omega {)}^2+1}+\cdots \\ & +{\log }_{10}\sqrt{({{\tau }_m}^{\prime }\omega {)}^2+1}-{\log }_{10}\sqrt{({\tau }_1\omega {)}^2+1}-\cdots -{\log }_{10}\sqrt{({\tau }_n\omega {)}^2+1}]\\ \end{array}$

שימו לב כי:

$f(\omega )=20{\log }_{10}\sqrt{(\tau \omega {)}^2+1}=10{\log }_{10}[(\tau \omega {)}^2+1]$,

כך שכל מה שנשאר הוא לדעת כיצד לצייר ביטויים כמו זה האחרון.

אבחנות

קירוב אסימפטוטי

1. עבור $\tau \omega <<1$ מתקבל $f(\omega )\approx 10{\log }_{10}1=0$.
2. עבור $\tau \omega >>1$ מתקבל $f(\omega )\approx 20{\log }_{10}\tau \omega =20[{\log }_{10}\omega +{\log }_{10}\tau ]$.

   כך שעל נייר חצי-לוגריתמי מקרה (2) הוא קו ישר.

3. נתבונן במתחולל כל תבנית:מונח בעקום הבודה:

   $20{\log }_{10}(\tau 10\omega )=20{\log }_{10}\omega \tau +20\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}_{10}=20dB$

   כלומר שיפוע העקום הוא $20\frac{dB}{dec}$.

4. תדירות הברך (corner frequency):

   $f({\omega }_c)=20{\log }_{10}{\omega }_c\tau =0\Rightarrow {\omega }_c=\frac{1}{\tau }$

הגרף האמיתי

1. ההפרש המקסימלי בין הגרף לאסימפטוטה: $f({\omega }_c)=20{\log }_{10}\sqrt{1+1}\approx 3dB$.

כללים לשרטוט עקום בודה אסימפטוטי

עקום בודה בו מרחק האפס מהקוטב הוא דקאדה אחת.

• מציירים בנפרד את עקום הבודה עבור כל קוטב וכל אפס (לכל קוטב או אפס מריבוי הגדול מ-1 יהיה גרף בודד, כלומר את המקרה $(s+3{)}^4$ נשרטט על גרף בודד ולא נפרדים ל-4 גרפים שונים.
• לאחר שכל הגרפים הנפרדים מוכנים, מאחדים אותם לגרף בודד באמצעות תכונת הלינאריות.
• קוטב מוריד את עקום ההגבר ואת עקום הפאזה, ואילו אפס מעלה אותם.

קטבים ואפסים ממשיים

1. שיפוע עקום ההגבר הינו אפס, עד לקוטב (או אפס) אשר גורם לשיפוע בעקום ההגבר.
2. שיפוע עקום הפאזה הינו אפס, פרט לאזור סביב הקוטב (או האפס) המושפע ממנו. תחום ההשפעה הינו מדקאדה אחת לפני הקוטב, ועד דקאדה אחת אחרי אותו קוטב.
3. קוטב מריבוי r_p גורם לשיפוע של $-20r_p\left[\frac{dB}{dec}\right]$ בעקום ההגבר, ולשיפוע של $-90^o{r}_p$ בעקום הפאזה.
4. אפס מריבוי r_z גורם לשיפוע של $20r_z\left[\frac{dB}{dec}\right]$ בעקום ההגבר, ולשיפוע של $90^o{r}_z$ בעקום הפאזה.
5. בכל גרף בודד כזה, עקום הפאזה הינו אנטי-סימטרי ביחס ל-$45^{o}r$, כאשר r הינו ריבוי הקוטב או האפס הנידון.

קטבים או אפסים מרוכבים

(להשלים)

מערכת Non Minimum Phase

במידה וישנו אפס ממשי במערכת, תרומתו לעקום ההגבר תהיה רגילה בעוד תרומתו לעקום הפאזה תהיה בעלת שיפוע שלילי. (להשלים)

מטלאב

נניח כי $G(s)=\frac{2}{s^2+0.4s+1}$.יש להגדיר וקטורי פולינום של מונה ומכנה באמצעות מערך, או לחילופין להשתמש בפונקציה conv לשם "פתיחת סוגריים".

num=[0 2];
den=[1 0.4 1];
bode(num,den)
grid on;

דרך אחרת

num=[0 40];
den=conv([1 10-25*i],[1 10+25*i]);
G=tf(num,den);
bode(G)
grid on;

ראו גם

• תכנות של שרטוט עקום בודה